农村公用道土地上私自刨砖的行为，通常属于违法行为。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据

1. 《中华人民共和国土地管理法》：该法明确规定了土地的使用和管理原则，强调土地用途的管制制度。农村公用道土地属于集体所有或国家所有，其使用和管理需遵循相关法律法规。私自刨砖可能改变土地用途或破坏土地资源，违反了土地管理法的相关规定。

2. 《中华人民共和国公路法》（若该公用道属于公路范畴）：该法规定了公路的保护和管理措施，禁止任何单位和个人在公路上及公路用地范围内进行损坏、污染公路或者影响公路畅通的活动。私自刨砖可能损坏公路路面，影响公路畅通，从而违反公路法的规定。

二、违法行为的后果

1. 行政处罚：根据相关法律法规，私自刨砖的行为人可能面临责令限期改正、恢复土地原状、罚款等行政处罚。具体处罚措施将根据违法行为的严重程度和造成的后果来确定。

2. 民事赔偿：如果私自刨砖行为导致他人财产损失或人身伤害，行为人还需承担相应的民事赔偿责任。例如，因刨砖导致路面不平整，造成他人摔倒受伤，行为人需赔偿医疗费用等损失。

3. 刑事责任：在极端情况下，如果私自刨砖行为造成严重后果，如大量土地资源被破坏、生态环境严重受损等，行为人还可能承担刑事责任。不过，这种情况相对较为罕见，通常需要违法行为达到一定的严重程度。

三、实际案例与警示

在实际生活中，已经有多起类似私自刨砖的违法案件被查处。例如，有村民未经批准擅自在农村公用道上刨砖铺路或进行其他建设活动，被相关部门发现并依法进行了处理。这些案例表明，私自刨砖的行为不仅违反了法律法规，还会对个人和社会造成不良影响。

四、建议与措施

1. 遵守法律法规：村民应严格遵守土地管理法和公路法等相关法律法规，不得私自改变土地用途或破坏土地资源。如需进行建设活动，应依法办理相关审批手续。

2. 加强宣传教育：相关部门应加强对农村地区的法律法规宣传教育力度，提高村民的法律意识和环保意识。通过举办讲座、发放宣传资料等方式，让村民了解私自刨砖等违法行为的危害性和法律后果。

3. 加强监管执法：相关部门应加强对农村公用道土地的监管执法力度，及时发现和制止私自刨砖等违法行为。对于违法行为人，应依法进行处罚并公开曝光，以起到警示作用。

如果您在农村土地或宅基地方面遇到任何法律问题或困惑，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。