结论前置：
- 对于用人单位未与劳动者签订书面劳动合同的情况，第二倍工资的最长支付期限确实不得超过11个月。
- 若涉及用人单位违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的情况，则第二倍工资的支付期限并非固定为11个月，而是自应当订立无固定期限劳动合同之日起计算。
详细分析：
一、未签订书面劳动合同的双倍工资支付
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这里的“二倍工资”支付期间具体为“自用工之日起超过一个月不满一年”，即从用工的第二个月开始计算，直至满一年前的那个月为止，共计11个月。
举例说明：
- 假设劳动者于2023年1月1日入职某公司，但双方未签订书面劳动合同。
- 那么，该公司需向劳动者支付双倍工资的期间为2023年2月1日至2023年12月31日，共计11个月。
二、未订立无固定期限劳动合同的双倍工资支付
除了未签订书面劳动合同外，若用人单位违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同，也需支付双倍工资。但这种情况下，双倍工资的支付期限并非固定为11个月，而是自应当订立无固定期限劳动合同之日起计算。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
- 若用人单位违反此规定，不与劳动者订立无固定期限劳动合同，则自应当订立无固定期限劳动合同之日起，需向劳动者每月支付二倍的工资。
举例说明：
- 假设劳动者在某公司连续工作满十年，符合订立无固定期限劳动合同的条件，但公司未与其订立。
- 那么，从劳动者符合订立无固定期限劳动合同条件之日起，公司就需向其支付双倍工资，且此支付期限并无11个月的限制。
三、劳动者的权益保护与维权途径
鉴于双倍工资的支付期限并非一成不变，且涉及劳动者的切身利益，劳动者在认为自己的权益受到侵害时，应及时采取行动。
建议：
- 保留证据：劳动者应保留与用人单位存在劳动关系以及用人单位未与其签订书面劳动合同或未订立无固定期限劳动合同的相关证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录等。
- 咨询律师：在维权过程中，劳动者可以向我咨询相关法律问题，了解自己的权利和义务，以及维权的具体途径和策略。
- 申请仲裁或诉讼：若劳动者与用人单位无法就双倍工资的支付达成一致，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
总结：
第二倍工资的最长支付期限是否不得超过11个月，需根据具体情况来判断。对于未签订书面劳动合同的情况，最长支付期限为11个月；而对于未订立无固定期限劳动合同的情况，则需根据具体法律法规来判断支付期限。劳动者在维权过程中应保留好相关证据，并及时咨询律师或申请仲裁/诉讼以维护自己的合法权益。