结论：可以跨省解决，但需分情况采取不同法律措施，具体如下：

1. 刑事追责角度
   若对方行为构成故意伤害罪（经鉴定达到轻伤二级及以上），公安机关会启动刑事立案程序。根据《刑事诉讼法》第90条，公安机关有权在全国范围内追捕犯罪嫌疑人，即使对方逃往外省，也可通过网上追逃、异地协作等机制实施抓捕。您需第一时间向案发地派出所报案，提交伤情鉴定报告、现场监控、证人证言等证据，公安机关立案后将依法跨省追逃。

2. 民事赔偿角度
   您可向被告户籍地或经常居住地（需连续居住满1年以上）法院提起民事诉讼。根据《民事诉讼法》第22条，即使被告在外省，法院也会依法受理。需准备起诉状、证据材料（如医疗记录、费用清单、报警回执等），通过法院向被告送达传票。若被告拒不到庭，法院可缺席判决，后续通过强制执行程序跨省查封其财产。

3. 行政处罚角度
   若伤情未达轻伤标准，对方可能面临《治安管理处罚法》第43条规定的5-15日拘留及罚款。您可向案发地派出所申请行政立案，公安机关会通过全国治安管理信息系统协调外省警方协助调查，即使对方逃往外省，也可依法传唤其到指定地点接受处罚。

实务建议：

• 立即报警并要求做伤情鉴定，这是后续所有法律程序的基础；
  
• 收集现场证据（如录音、录像、聊天记录）及证人联系方式；
  
• 若经济困难，可向当地法律援助中心申请免费律师协助；
  
• 关注案件进展，若公安机关未及时立案，可向其上级部门或检察院申请立案监督。
  

特别提醒：跨省案件可能因管辖权、送达程序等问题延长处理周期，建议保持与办案机关的定期沟通。如需进一步分析证据效力或诉讼策略，可随时向我补充细节。