结论：儿子跟母亲打架是可以报警的，但打架行为是否会留下案底，需根据具体情况来判断。

详细分析：

1. 报警的合法性：

   • 家庭暴力，包括儿子与母亲之间的打架行为，都是违法的。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。因此，无论是儿子还是母亲，如果遭受了家庭暴力，都有权向公安机关报案。

2. 案底的形成：

   • 行政处罚记录：如果打架行为被公安机关认定为违反治安管理行为，并给予了行政处罚（如拘留、罚款等），那么这种处罚记录会被保留在公安机关的系统中，但这并不等同于“案底”在通常意义上的刑事犯罪记录。不过，这种行政处罚记录在某些特定情况下（如求职、出国等）可能会被查询到，并对个人产生一定影响。
   • 刑事犯罪记录：如果打架行为造成了严重的后果，如轻伤、重伤或死亡，且被司法机关认定为犯罪行为，那么就会留下刑事犯罪记录，即通常所说的“案底”。这种记录会伴随个人一生，并在求职、升学、出国等方面产生严重影响。

3. 不同情况下的处理：

   • 轻微打架：如果打架行为情节轻微，没有造成明显伤害，且双方能够和解，那么公安机关可能会进行调解处理，不会给予行政处罚，也就不会留下行政处罚记录。
   • 严重打架：如果打架行为情节严重，造成了明显伤害，或者双方无法和解，那么公安机关会依法进行调查处理，并根据调查结果给予相应的行政处罚或刑事处罚。

建议：

• 及时报警：如果儿子与母亲之间发生了打架行为，且造成了伤害或存在持续的家庭暴力风险，建议及时向公安机关报案，以保护受害者的合法权益。
• 寻求法律援助：在处理此类家庭纠纷时，建议寻求专业的法律援助或咨询，以了解自己的权利和义务，并避免因为不了解法律而做出错误的决策。
• 和解与调解：如果可能的话，双方可以尝试通过和解或调解的方式解决纠纷，以避免进一步的法律冲突和不良影响。

后续行动：

• 如果您或您的家人遭遇了家庭暴力，或者对家庭纠纷的处理有疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。