结论：公司是否有权开除赌博的员工，主要取决于赌博行为的法律性质、公司规章制度的具体规定以及员工的身份。若员工赌博行为构成刑事犯罪，或严重违反公司合法有效的规章制度，公司有权解除劳动合同；若仅触犯《治安管理处罚法》且公司规章制度未明确规定，则公司通常不能直接开除。
一、赌博行为的法律性质
触犯《治安管理处罚法》：
- 若员工参与赌博但尚未构成犯罪，如赌资较大或以营利为目的提供赌博条件，可能面临拘留或罚款。此时，公司通常不能直接依据此行为开除员工，除非公司规章制度有特别规定。
构成犯罪：
- 根据《刑法》第三百零三条，员工以营利为目的聚众赌博或以赌博为业，将面临刑事处罚。根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，公司可因员工被依法追究刑事责任而解除劳动合同。
二、公司规章制度的具体规定
明确规定：
- 若公司规章制度中明确将参与赌博列为严重违纪行为，并且该规章制度已经过合法程序（如民主讨论、与工会协商、公示等）制定并公示，公司可依据《劳动合同法》第三十九条中关于“严重违反用人单位的规章制度”的规定，解除劳动合同。
未明确规定或程序瑕疵：
- 若规章制度中未明确禁止赌博，或规章制度的制定、公示程序存在瑕疵，公司在开除参与赌博的员工时可能面临法律风险。例如，若规章制度未经民主程序制定或未向员工公示，则可能被视为无效，公司不能据此开除员工。
三、员工身份的影响
公职人员：
- 根据《行政机关公务员处分条例》，公职人员参与赌博将视情节轻重给予不同处分，包括开除。因此，对于公职人员而言，公司（或单位）有权直接开除参与赌博的员工。
非公职人员：
- 对于一般企业员工，除非其行为构成犯罪或被公司合法有效的规章制度明确规定为严重违纪，否则通常不会被直接开除。公司应依据法律法规和公司规章制度进行综合判断和处理。
四、实际操作建议
证据收集：
- 公司在决定开除参与赌博的员工前，应确保收集到充分、合法的证据，如现场照片、视频、公安机关的记录等。这些证据将有助于证明员工的赌博行为及其严重性。
程序合规：
- 公司应严格按照法定程序和公司内部流程处理此类问题。例如，在解除劳动合同前，应通知工会并听取其意见（若公司建立了工会组织）；同时，应确保解除劳动合同的决定符合法律法规和公司规章制度的规定。
综合考虑：
- 在做出决策时，公司应综合考虑法律法规、内部规章制度、员工身份及行为性质等多方面因素。例如，对于初犯且情节较轻的员工，公司可以考虑给予警告、罚款等处分而非直接开除；而对于屡教不改或情节严重的员工，则应坚决予以开除。
五、法律后果
- 若公司未经合法程序或未依据合法有效的规章制度开除参与赌博的员工，可能面临劳动争议仲裁或诉讼的风险。在此情况下，公司可能需要支付赔偿金或恢复与员工的劳动关系等。
综上所述，公司是否有权开除赌博的员工是一个需要综合考虑多方面因素的问题。公司在处理此类问题时，应谨慎行事并确保决策符合法律法规和公司规章制度的要求。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。