结论：公司是否有权开除因赌博被拘留的员工，需根据具体情况判断，主要取决于赌博行为是否构成严重违反公司规章制度或是否被认定为严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害。
分析说明：
从公司规章制度的角度：
- 如果公司的规章制度中明确规定了赌博行为属于严重违反公司纪律，且该规章制度已经通过合法程序制定并公示，员工在入职时已知悉并同意遵守，那么公司有权依据规章制度开除因赌博被拘留的员工。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。
从员工行为性质的角度：
- 如果赌博行为不仅违反了公司规章制度，还触犯了法律，且该行为被认定为严重失职、营私舞弊，给公司造成了重大损害，公司同样有权开除该员工。
- 法律依据：同样依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可以解除劳动合同。
从拘留性质与影响的角度：
- 拘留分为行政拘留和刑事拘留。行政拘留通常是对违反治安管理行为的处罚，而刑事拘留则是对涉嫌犯罪行为的临时强制措施。
- 如果员工因赌博被行政拘留，且该行为未构成严重违反公司规章制度或未给公司造成重大损害，公司开除员工可能缺乏合法依据。
- 如果员工因赌博被刑事拘留，且后续被证实有犯罪行为，那么该行为很可能构成严重违反公司规章制度或严重失职、营私舞弊，公司有权开除。
特殊场景：
- 如果公司规章制度中未明确规定赌博行为的处理方式，或者规章制度制定程序不合法，公司开除因赌博被拘留的员工可能面临法律风险。
- 如果员工因赌博被拘留但并未被证实有犯罪行为，且该行为未对公司造成实质性损害，公司开除员工也可能缺乏合法依据。
建议与行动：
- 对于公司：在制定规章制度时，应明确规定赌博等违法行为的处理方式，并确保规章制度通过合法程序制定并公示。在处理因赌博被拘留的员工时，应谨慎评估其行为性质、影响及公司规章制度的规定，确保开除决定合法合规。
- 对于员工：应遵守国家法律法规和公司规章制度，避免参与赌博等违法行为。如果因赌博被拘留，应及时与公司沟通，说明情况并寻求解决方案。如果认为公司开除决定不合法，可以依法维护自己的合法权益。
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