结论：律师行贿司法工作人员的案件管辖涉及多个法律机构，主要包括监察机关、公安机关以及检察机关，具体由哪个机关管辖取决于案件的性质、情节以及相关法律规定。
详细分析：
监察机关的管辖：
- 根据《中华人民共和国监察法》，监察机关对所有行使公权力的公职人员进行监察，并调查职务违法和职务犯罪。律师行贿司法工作人员，若涉及国家工作人员的职务犯罪，如法官、检察官等，则属于监察机关的管辖范围。
- 监察机关在调查过程中，有权采取留置等措施，对涉案人员进行深入调查，以查明事实真相。
公安机关的管辖：
- 对于非国家工作人员的行贿行为，或者虽然涉及国家工作人员但情节较轻、不构成职务犯罪的行贿案件，通常由公安机关负责管辖。
- 公安机关在侦查过程中，会收集证据、查明事实，对犯罪嫌疑人进行调查和审讯，以确定其是否构成行贿罪。
检察机关的管辖与角色：
- 检察机关在行贿案件中主要扮演公诉和法律监督的角色。虽然检察机关不直接负责行贿案件的侦查，但在监察机关或公安机关完成调查后，检察机关会审查案件并决定是否提起公诉。
- 若律师行贿司法工作人员的案件涉及司法工作人员利用职权实施的侵犯公民权利、损害司法公正的犯罪，且经省级以上人民检察院决定立案侦查，则检察机关也行使侦查权。
实际司法过程中的考量：
- 在实际司法过程中，具体由哪个机关管辖律师行贿司法工作人员的案件，还会考虑案件的复杂性、涉案金额、影响程度以及相关法律法规的规定。
- 例如，若案件涉及多个地区或多个部门，可能会由上级机关或指定的专门机关来统一协调和管辖。
法律建议：
- 对于律师而言，应严格遵守法律法规，不得行贿司法工作人员，以维护司法公正和法律的尊严。
- 若面临相关法律问题或疑虑，应及时向我咨询，以便获得专业的法律意见和帮助。
总结：
律师行贿司法工作人员的案件管辖是一个复杂且多维的问题，涉及多个法律机构和层面的协作与配合。在实践中，应根据案件的具体情况、涉案金额、影响程度以及相关法律法规的规定，综合考虑确定具体的管辖机关。同时，律师应严格遵守法律法规，不得行贿司法工作人员，以维护司法公正和法律的尊严。如有任何法律问题或疑虑，可直接向我咨询。