结论：在二婚情况下，女儿法律上判归您抚养，现任丈夫在法律上确实有一定的义务来共同承担抚养责任，但具体义务范围需结合实际情况判断。
法律背景与解释：
夫妻共同抚养义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，夫妻双方有共同抚养子女的义务。这一义务不因子女是否为亲生而有所区别，只要子女在法律上被认定为夫妻双方的共同子女（如通过收养、法律判决等方式），夫妻双方就需共同承担抚养责任。
- 在您的情况下，女儿虽然法律上判归您抚养，但现任丈夫作为您的配偶，在婚姻关系存续期间，有义务与您共同承担抚养女儿的责任。
抚养义务的具体内容：
- 抚养义务包括提供生活费、教育费、医疗费等必要费用，以及给予子女关爱、教育和保护等精神层面的支持。
- 现任丈夫应与您共同协商，根据家庭经济状况和女儿的实际需要，合理分担抚养费用，并共同参与女儿的教育和成长过程。
特殊情况下的抚养义务：
- 如果现任丈夫与女儿之间形成了法律上的继父母与继子女关系（如通过收养程序或长期共同生活并形成抚养教育关系），则他的抚养义务将更加明确和具体。
- 在未形成法律上的继父母与继子女关系的情况下，现任丈夫的抚养义务主要基于夫妻共同抚养的义务，以及道德和伦理上的责任。
法律建议：
明确抚养责任：
- 建议您与现任丈夫进行坦诚沟通，明确双方在抚养女儿方面的责任和义务，包括费用分担、教育参与等方面。
- 可以考虑签订书面协议，明确双方的权利和义务，以避免未来可能出现的纠纷。
寻求法律帮助：
- 如果在抚养过程中遇到任何法律问题或纠纷，如费用分担不合理、教育参与不足等，可以及时向专业律师咨询，寻求法律帮助。
- 律师可以根据具体情况，为您提供法律建议和解决方案，保护您和女儿的合法权益。
关注女儿的情感需求：
- 除了物质层面的抚养外，还应关注女儿的情感需求和心理状态。
- 鼓励现任丈夫与女儿建立亲密的亲子关系，共同参与女儿的成长过程，为女儿提供一个温馨、和谐的家庭环境。
可能法律后果：
- 如果现任丈夫拒绝履行抚养义务，您可以通过法律途径追究其责任，如提起民事诉讼要求其支付抚养费等。
- 在极端情况下，如果现任丈夫的行为构成遗弃罪等刑事犯罪，还可能面临刑事责任的追究。但这种情况较为罕见，通常需要通过法律程序进行认定和处理。