核心结论：您母亲去世后，其名下未到期的40万元存款作为遗产，银行依法冻结是正常程序。您需要通过继承权公证或诉讼程序确认继承人身份后，才能办理提取或过户手续。以下是具体处理步骤和注意事项：

一、银行冻结存款的法律依据

根据《储蓄管理条例》第四十条及《民法典》第一千一百二十一条，存款人死亡后，其存款作为遗产在继承人未明确前，银行有权冻结账户。这是为了防止遗产被非法侵占或转移，确保遗产分配的合法性。

二、处理流程（分情况说明）

1. 所有继承人协商一致的情况

• 步骤：
  1. 准备材料：死亡证明、亲属关系证明（如户口本、出生证、公证处出具的亲属关系公证书）、所有继承人身份证原件及复印件；
  2. 办理继承权公证：所有继承人共同到公证处申请继承权公证，明确遗产分配方案（如均分、按遗嘱分配等）；
  3. 提取存款：凭公证书、继承人身份证、死亡证明到银行办理提取或过户手续。
• 注意：
  • 若存款到期，可直接提取；若未到期，需按银行规定支付提前支取的利息差额（通常按活期利率计算）；
  • 公证费按遗产金额比例收取（各地标准不同，约1%-2%）。

2. 继承人之间存在争议或无法协商一致的情况

• 步骤：
  1. 向法院提起继承纠纷诉讼，由法院判决遗产分配方案；
  2. 凭法院判决书、生效证明、继承人身份证、死亡证明到银行办理提取或过户手续。
• 注意：
  • 诉讼周期较长（通常3-6个月），需准备充分证据（如遗嘱、证人证言等）；
  • 诉讼费由败诉方承担，但需预交（按争议金额比例收取）。

三、特殊情况处理

1. 遗嘱继承

若您母亲留有合法有效的遗嘱，需先确认遗嘱真实性（如自书遗嘱需满足《民法典》第一千一百三十四条形式要件），再按遗嘱内容分配遗产。若其他继承人对遗嘱有异议，仍需通过公证或诉讼程序解决。

2. 无继承人或继承人放弃继承

若您母亲无第一顺序继承人（配偶、子女、父母）且第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）也放弃继承，存款将归国家所有（用于公益事业）。此时需向银行提供相关证明材料（如居委会/村委会出具的无人继承证明）。

四、操作建议

1. 优先协商：若继承人关系和睦，建议通过公证程序处理，成本低、效率高；
2. 保留证据：整理您母亲生前与存款相关的凭证（如存单、密码、银行流水等），便于后续操作；
3. 及时处理：遗产长期冻结可能产生管理费用（如账户管理费），建议尽快完成继承手续。

温馨提示：若您对具体流程或材料准备有疑问，可直接向我咨询，我会根据您所在地区的政策提供更详细的指导。