在涉及伤人的刑事案件中，当犯罪嫌疑人被刑事拘留后，确实存在申请取保候审的可能性，但需满足一定的法定条件。以下是对此问题的详细解答：

一、法律依据

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对于可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的，或者可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审。此外，对于患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的，以及羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续采取强制措施的，也都可以申请取保候审。

二、具体情形分析

1. 轻伤害案件：

   • 在故意伤害案件中，如果造成的伤害程度较轻，犯罪嫌疑人可能被判处管制、拘役或独立适用附加刑。这种情况下，通常可以申请取保候审。
   • 特别是因邻里纠纷、轻微口角等引发的肢体冲突导致的轻微伤或轻伤案件，取保候审的可能性相对较大。

2. 非暴力倾向与悔罪表现：

   • 即使犯罪嫌疑人可能面临有期徒刑以上的刑罚，但如果其平时表现良好，本次伤人行为出于一时冲动，并有明显的悔罪表现（如积极赔偿受害人损失、主动投案自首等），能够证明取保候审不会对社会造成危害，也可申请取保候审。

3. 特殊身体状况：

   • 如果犯罪嫌疑人患有严重疾病导致生活不能自理，或是怀孕、正在哺乳的妇女，在保证不发生社会危险性的前提下，同样可以申请取保候审。

4. 超期羁押情况：

   • 如果案件侦查时间较长，犯罪嫌疑人被羁押的期限已接近或超过预计的办案期限，但案件尚未办结，此时可依据法律规定申请取保候审。

三、申请流程

1. 提出申请：

   • 取保候审的申请可由犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人提出。
   • 申请时需撰写取保候审申请书，明确申请理由及拟采取的保证方式（保证人或保证金）。

2. 提交申请：

   • 申请书应提交给办案机关（公安机关、人民检察院或人民法院）。

3. 等待决定：

   • 办案机关将在收到申请后三日内作出决定，不同意时须告知申请人并说明理由。

四、取保候审期间的注意事项

取保候审并不意味着案件的终结或犯罪嫌疑人的无罪，它只是一种暂时的强制措施。在此期间，犯罪嫌疑人必须遵守一系列规定，包括但不限于不得离开指定的居住地、不得干扰案件调查、不得接触受害人或证人等。违反这些规定可能导致取保候审被取消，并可能面临更严厉的强制措施。

五、建议

如果您或您身边的人面临伤人案件并被刑事拘留，我建议您尽快咨询专业律师以了解相关法律规定并采取适当的法律措施。律师将根据您的具体情况提供针对性的法律建议，帮助您更好地维护自身权益。同时，也请务必遵守取保候审期间的相关规定，以免给自己带来不必要的麻烦。