关于民事再审申请人在什么情况下可以申请提级再审的问题，这主要涉及到我国民事诉讼法的相关规定以及最高人民法院的相关司法解释。以下是我为您详细梳理的解答：
首先，需要明确的是，提级再审并非一个独立的再审程序启动方式，而是再审申请可能由上一级法院审查的一种情况。在常规情况下，当事人对已经发生法律效力的民事判决、裁定、调解书不服，可以向作出该法律文书的人民法院的上一级人民法院申请再审。这并不意味着所有再审申请都会直接提级到上一级法院，而是根据案件的具体情况和法律规定，由上一级法院来决定是否受理再审申请。
具体来说，以下情况可能涉及提级再审的考量：
案件性质与影响：如果案件涉及重大法律适用问题、社会影响广泛或者具有典型性，上一级法院可能会更倾向于提级再审，以确保法律适用的统一性和公正性。
原审法院级别与案件复杂性：对于某些复杂或疑难案件，如果原审法院级别较低，可能缺乏处理此类案件的经验和资源，上一级法院可能会提级再审，以更好地保障当事人的合法权益。
当事人申请与法定事由：当事人申请再审时，需要依据《民事诉讼法》的相关规定列明再审事由。如果这些事由涉及原审法院在审理过程中的重大错误或违法行为，上一级法院在审查时可能会考虑提级再审。
特定情形下的提级再审：根据全国人大常委会《关于授权最高人民法院组织开展四级法院审级职能定位改革试点工作的决定》及最高人民法院《关于完善四级法院审级职能定位改革试点的实施办法》的规定，存在某些特定情形时，案件可能会被提级再审。这些情形通常与案件的性质、影响以及原审法院的审理情况密切相关。
在申请提级再审（或更准确地说，是向上一级法院申请再审）时，当事人需要注意以下几点：
准备充分的再审申请书：再审申请书应写明当事人基本情况、有关的生效裁判的情况、申请再审的请求、申请再审的事实与依据，并明确列明申请再审的具体法定事由。
提交全案裁判文书：包括一、二审、发回重审判决书、裁定书、调解书等，以供上一级法院全面审查。
提供证据材料：支持再审申请理由的有关证据材料也是必不可少的，这些材料应能够证明原审法院在审理过程中存在错误或违法行为。
遵守申请期限：当事人申请再审，应当在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出；有特定情形的，自知道或者应当知道之日起六个月内提出。
综上所述，虽然“提级再审”并非一个明确的法律术语，但当事人可以通过向上一级法院申请再审的方式，寻求对原审判决、裁定或调解书的重新审查。在申请过程中，当事人需要准备充分的材料，并遵守相关的法律规定和程序要求。