在民事诉讼中，再审程序是当事人或法院认为已发生法律效力的判决、裁定或调解书存在错误时，启动的一种特殊救济程序。关于您提出的“什么情况下可以提审（即启动再审程序）”的问题，以下是我为您详细整理的解答：

一、当事人申请再审的情形

当事人对已经发生法律效力的判决、裁定或调解书，如认为存在错误，可依法向上一级人民法院或原审人民法院（在特定情况下）申请再审。具体情形包括但不限于：

1. 新的证据出现：

   • 新的证据指原审庭审结束后新发现的证据，这些证据如果在原审中出现，极有可能改变原判决、裁定的结果。例如，新发现的关键合同补充协议、证人证言等，能直接改变案件事实的认定和责任的划分。

2. 原判决、裁定认定事实的主要证据有问题：

   • 主要证据不足或缺乏证据证明，即基本事实没有足够的证据支持，可能影响判决的公正性。
   • 主要证据未经质证，质证是查明证据真实性的重要环节，未经质证的证据可能导致错误认定事实。
   • 主要证据是伪造的，如伪造借条、合同等作为主要证据，基于此作出的判决必然是错误的。

3. 原判决、裁定适用法律确有错误：

   • 包括适用的法律与案件性质明显不符、法律条款适用错误、违反法律溯及力规定等。例如，知识产权侵权纠纷应适用专利法，却错误地适用了商标法。

4. 违反法律规定的诉讼程序：

   • 审判组织的组成不合法，如合议庭成员与一方当事人存在近亲属关系未回避。
   • 剥夺当事人辩论权利，如限制当事人发表辩论意见，未给予合理的辩论时间和机会。
   • 未经传票传唤，缺席判决，即未按照法定程序向当事人送达传票，导致当事人未能到庭。

5. 其他特定情形：

   • 不予立案或驳回起诉确有错误，即符合立案条件但未予立案，或无正当理由被驳回起诉。
   • 原判决、裁定遗漏诉讼请求，即未涵盖原告提出的全部诉讼请求。
   • 据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或变更，导致原判决、裁定的基础不复存在。
   • 审判人员存在违法行为，如贪污受贿、徇私舞弊或枉法裁判。
   • 对于已经发生法律效力的调解书，如果调解违反自愿原则或内容违反法律，也可以申请再审。

二、法院依职权启动再审的情形

除了当事人申请再审外，法院在发现已发生法律效力的判决、裁定或调解书存在下列情形之一时，也有权依职权启动再审程序：

1. 有新的证据，足以推翻原判决、裁定的：

   • 与当事人申请再审中的新证据情形相同，法院在审查过程中发现新证据，且该证据足以改变原判决、裁定的结果时，可以启动再审。

2. 原判决、裁定认定事实的主要证据不足或伪造的：

   • 法院在审查过程中发现原判决、裁定认定事实的主要证据不足或存在伪造情形时，可以启动再审以纠正错误。

3. 原判决、裁定适用法律确有错误的：

   • 法院在审查过程中发现原判决、裁定适用法律存在错误时，可以启动再审以正确适用法律。

4. 违反法律规定的诉讼程序，可能影响公正审判的：

   • 包括审判组织的组成不合法、剥夺当事人辩论权利、未经传票传唤缺席判决等违反法定程序的情形。

5. 审判人员在审理该案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为的：

   • 法院在发现审判人员存在违法行为时，为了维护司法公正和当事人合法权益，可以启动再审程序。

三、申请再审的注意事项

1. 申请再审的期限：

   • 当事人申请再审应当在判决、裁定或调解书发生法律效力后的六个月内提出。

2. 申请再审的形式：

   • 需要提交书面再审申请书，并附上相关证据材料以支持再审请求。

3. 再审程序不停止执行：

   • 申请再审并不停止原判决、裁定的执行，除非法院另有裁定。

综上所述，无论是当事人申请再审还是法院依职权启动再审，都需要满足一定的条件。当事人在申请再审时，应仔细审查原判决、裁定或调解书是否存在上述错误或违法情形，并确保在规定的时间内按照法定程序提出申请，以维护自身的合法权益。