结论：

1. 若债务属于夫妻共同债务，一方死亡后另一方原则上不能单独申请个人破产，但需承担剩余债务的清偿责任；
   
2. 若债务属于死亡一方的个人债务，另一方在继承遗产范围内承担责任，且符合条件时可申请个人破产。
   

详细分析：

根据《中华人民共和国民法典》及《企业破产法》《深圳经济特区个人破产条例》（目前仅深圳试点）等相关规定，需分情况讨论：

一、若债务属于夫妻共同债务

1. 法律性质：夫妻共同债务是指双方共同签名或事后追认的债务，或一方以个人名义为家庭日常生活需要所负的债务（《民法典》第1064条）。
   
2. 债务承担：
   
   • 一方死亡后，另一方作为共同债务人，仍需对全部债务承担连带清偿责任，无权通过个人破产免除共同债务；
     
   • 若死亡一方留有遗产，债权人可要求以遗产清偿债务，但另一方的清偿责任不因遗产清偿而免除。
     
3. 例外情形：若另一方能证明债务未用于夫妻共同生活（如赌博、非法活动等），可主张不承担责任，但需承担举证责任。
   

二、若债务属于死亡一方的个人债务

1. 法律性质：个人债务是指一方以个人名义超出家庭日常生活需要所负的债务，且未用于夫妻共同生活（《民法典》第1064条）。
   
2. 债务承担：
   
   • 另一方仅在继承遗产的范围内承担责任（《民法典》第1161条），即以遗产实际价值为限清偿债务；
     
   • 若另一方放弃继承，则无需承担任何清偿责任。
     
3. 个人破产申请：
   
   • 深圳试点地区：若另一方符合个人破产条件（如资不抵债、诚实信用等），可申请个人破产，通过破产程序免除剩余债务；
     
   • 非试点地区：目前无个人破产制度，需通过协商、执行和解等方式解决债务问题。
     

实务建议：

1. 明确债务性质：收集证据证明债务是否属于夫妻共同债务（如借款用途、双方签字等）；
   
2. 遗产处理：若涉及遗产继承，建议及时办理继承公证或通过法院确认遗产范围；
   
3. 破产申请：若在深圳试点地区且符合条件，可咨询具体流程（如财产申报、债权人会议等）；
   
4. 协商解决：与债权人沟通，争取分期还款或债务减免，避免诉讼风险。
   

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