结论：男方在生病期间女方不出现，并不直接构成可以公诉离婚的法定理由，但男方可以以此为由向法院提起民事诉讼要求离婚。同时，男方在符合一定条件下可以申请法律援助。
一、关于公诉离婚的问题
公诉离婚的适用范围：
- 在我国，离婚诉讼通常属于民事诉讼范畴，由当事人自行向法院提起，而非公诉。公诉主要适用于刑事案件，如犯罪行为等。因此，男方不能因女方在其生病期间不出现而直接要求公诉离婚。
民事诉讼离婚的条件：
- 根据《民法典》的相关规定，夫妻一方要求离婚的，可以由有关组织进行调解或者直接向人民法院提起离婚诉讼。人民法院审理离婚案件，应当进行调解；如果感情确已破裂，调解无效的，应当准予离婚。
- 在男方生病期间女方不出现，可能被视为夫妻感情破裂的一种表现，但具体是否构成离婚的法定理由，还需根据案件的具体情况、双方的感情基础、婚姻期间的相处情况等因素综合判断。
建议：
- 男方可以收集相关证据，如医院诊断证明、女方不出现的记录等，以证明女方在其生病期间未履行夫妻间的扶助义务，从而作为离婚诉讼中的一项理由。
- 同时，男方也可以考虑通过调解、协商等方式解决与女方的矛盾，以维护家庭和谐。
二、关于法律援助的问题
法律援助的适用范围：
- 法律援助是指由政府设立的法律援助机构或者非政府设立的合法律所组织法律援助的律师，为经济困难或特殊案件的人尤其是农村给予无偿提供法律服务的一项法律保障制度。
- 在离婚诉讼中，如果男方经济困难或者符合其他法律援助的条件，可以向当地法律援助机构申请法律援助。
申请法律援助的条件：
- 申请人需要符合经济困难的标准，即家庭人均收入低于当地最低生活保障标准或者符合当地法律援助机构规定的其他经济困难标准。
- 申请人需要提供相关证明材料，如身份证、户口本、经济困难证明等。
- 申请人需要明确申请法律援助的事项和理由，即需要法律援助机构提供何种法律服务以及为何需要这种服务。
建议：
- 男方在申请法律援助前，可以先了解当地法律援助机构的具体要求和申请流程。
- 男方可以准备相关证明材料，如医院诊断证明、经济困难证明等，以证明其符合法律援助的条件。
- 如果男方对法律援助的申请流程或条件有疑问，可以向当地法律援助机构咨询或寻求帮助。
三、综合建议
- 男方在生病期间女方不出现，虽然不直接构成公诉离婚的理由，但可以作为民事诉讼离婚中的一项考虑因素。男方可以收集相关证据，向法院提起离婚诉讼，并考虑申请法律援助以维护自己的合法权益。
- 在处理离婚纠纷时，建议男方保持冷静和理性，通过合法途径解决矛盾，避免采取过激行为或言语攻击等方式加剧矛盾。
- 如果男方对离婚诉讼或法律援助有任何疑问或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。