批捕降为取保候审，其批准与执行涉及多个环节，但执行工作主要由公安机关负责。以下是对这一问题的详细解答：
一、批准机关
原批准逮捕机关：批捕后若需变更为取保候审，首先需经过原批准逮捕的机关（通常是人民检察院或人民法院）的批准。这是因为逮捕决定是由这些机关作出的，对犯罪嫌疑人的羁押状态有直接的决定权。
审批流程：在提出取保候审申请后，办案机关（如公安机关）会对申请材料进行审查，核实申请人的身份、案情以及是否符合取保候审的条件。经审查认为符合取保候审条件的，办案机关会制作相关报告书，并报县级以上公安机关负责人批准，但最终仍需原批准逮捕的机关同意。
二、执行机关
公安机关执行：一旦取保候审获得批准，执行工作主要由公安机关负责。公安机关会通知申请人并办理相关手续，如交纳保证金或提供保证人，确保犯罪嫌疑人、被告人在取保候审期间遵守相关规定。
执行内容：在执行取保候审期间，公安机关会监督犯罪嫌疑人、被告人遵守取保候审的规定，如不得擅自离开居住地、不得干扰证人作证等。如果犯罪嫌疑人、被告人违反规定，公安机关有权撤销取保候审，并可能对其采取更严厉的强制措施。
三、注意事项
取保候审并非无罪释放：取保候审只是刑事诉讼过程中的一种强制措施，并不意味着犯罪嫌疑人、被告人无罪或被释放。在取保候审期间，他们仍需配合司法机关的调查和审理工作。
遵守规定的重要性：犯罪嫌疑人、被告人在取保候审期间必须严格遵守相关规定，否则可能面临取保候审被撤销、被逮捕等更严厉的后果。
及时咨询专业律师：如果您或您的亲友面临批捕降为取保候审的情况，建议及时咨询专业律师，了解具体的法律程序和注意事项，以便更好地维护自身权益。
总结来说，批捕降为取保候审的批准工作主要由原批准逮捕的机关负责，而执行工作则主要由公安机关负责。在取保候审期间，犯罪嫌疑人、被告人必须严格遵守相关规定，配合司法机关的调查和审理工作。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。