小学有编制教职工续签合同的管理部门主要是学校的主管教育行政部门，通常是当地的教育局（或教委），具体流程可能还涉及学校内部的人事部门。以下从不同角度进行详细说明：

1. 主管教育行政部门（教育局/教委）
   根据《事业单位人事管理条例》及相关规定，公立小学属于事业单位，其教职工的编制管理、合同签订及续签等事项，通常由学校的主管教育行政部门（如教育局或教委）负责审批或备案。具体来说：

   • 学校需根据教职工的工作表现、岗位需求等，提出续签合同的建议；
     
   • 续签合同需报主管教育行政部门审核或备案，确保符合编制管理、岗位设置等政策要求；
     
   • 教育行政部门可能对续签合同的期限、条件等提出指导意见或限制。

2. 学校内部人事部门
   学校的人事部门（如人事处、人力资源部）是续签合同的具体操作部门，负责：

   • 整理教职工的考核材料、工作表现等，评估是否符合续签条件；
     
   • 与教职工沟通续签意向，协商合同条款（如期限、待遇等）；
     
   • 起草续签合同文本，并提交学校领导或主管教育行政部门审批；
     
   • 办理续签合同的签订、归档等手续。

3. 其他可能涉及的部门

   • 编制管理部门：如果续签合同涉及编制调整（如增减编制），需报当地编制委员会办公室（编办）审批；
     
   • 财政部门：续签合同可能涉及工资、福利等经费支出，需符合财政部门的相关规定；
     
   • 工会：根据《劳动合同法》，学校工会可能参与续签合同的协商过程，维护教职工的合法权益。

建议：

• 如果您是教职工，续签合同前可先咨询学校人事部门，了解具体流程和要求；
  
• 如果学校或教育行政部门在续签过程中存在违规行为（如未按规定程序操作、侵犯合法权益等），可向当地教育行政部门或劳动监察部门投诉；
  
• 如有复杂情况（如合同纠纷、编制争议等），可进一步向我咨询，我会结合具体事实和法律条款为您详细分析。