结论：在法院调解离婚后，若孩子从公立学校转到私立学校，您是有权就增加的学费部分起诉要求对方承担相应费用的，但能否得到法院支持需视具体情况而定。
分析说明：
抚养费的范围与变更：
- 抚养费通常包括子女的生活费、教育费、医疗费等必要费用。在离婚调解或判决中确定的抚养费数额，是基于当时子女的实际需要和父母双方的经济状况。
- 若子女因特殊原因（如从公立学校转入私立学校）导致教育费用显著增加，且这一增加是合理的、必要的，那么原定的抚养费数额可能无法满足子女的实际需要。
起诉学费的法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对子女有抚养、教育、保护的权利和义务。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。
- 若子女因教育需要增加费用，且这一增加与子女的实际利益相符，父母双方应协商解决。若协商不成，您可以向法院提起诉讼，要求对方承担相应的费用。
法院判决的考虑因素：
- 法院在判决时，会综合考虑子女的实际需要、父母双方的经济状况、当地的实际生活水平以及子女转入私立学校的合理性和必要性等因素。
- 若法院认为子女转入私立学校是合理的、必要的，且父母双方的经济状况允许，那么法院可能会判决对方承担部分或全部增加的学费。
实际操作建议：
- 在起诉前，建议您先与对方进行协商，尝试通过友好方式解决费用分担问题。
- 若协商不成，您可以收集相关证据（如子女转入私立学校的申请、学费发票、双方的经济状况证明等），并向法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，您需要充分阐述子女转入私立学校的合理性和必要性，以及对方承担相应费用的合理性。
后续行动建议：
- 在决定起诉前，务必确保您有充分的证据支持您的主张，包括但不限于子女转入私立学校的合理性和必要性证明、学费发票、双方的经济状况证明等。
- 考虑到诉讼可能涉及的时间和精力成本，以及可能对双方关系产生的影响，建议您在起诉前再次考虑是否可以通过其他方式（如调解、协商）解决费用分担问题。
- 若您决定起诉，建议您咨询专业律师（虽然此处我已是您的专业咨询对象，但在实际操作中，若案件复杂，您仍可考虑进一步咨询以获取更具体的法律建议），以确保您的权益得到充分保障。
特殊场景提醒：
- 若对方经济状况确实困难，无法承担增加的学费，法院可能会考虑这一因素，并判决对方承担部分费用或不予支持您的诉求。
- 若子女转入私立学校并非出于必要原因（如追求更好的教育资源而非因公立学校无法满足基本教育需求），法院可能会认为这一增加并非合理必要，从而不予支持您的诉求。
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