在刑事诉讼法中，当事人被判处死刑立即执行提出申诉期间，一般并不停止对原判决的执行，但在特定情形下会停止执行。以下是对此问题的详细分析：

1. 申诉与执行的关系：

   • 申诉是当事人及其法定代理人、近亲属对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误而向人民法院或者人民检察院提出重新审查请求的诉讼活动。然而，申诉的提出并不直接影响原判决的执行。
   • 对于死刑立即执行的判决，一旦最高人民法院核准并签发执行死刑的命令，原审人民法院应当在接到命令后的7日以内执行，除非存在法定停止执行的情形。

2. 停止执行的特定情形：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百六十二条的规定，下级人民法院在接到最高人民法院执行死刑的命令后，若在执行前发现以下情形之一的，应当立即停止执行，并报告最高人民法院，由其作出裁定：
     1. 判决可能有错误：这包括新证据的出现可能改变案件事实认定，或者原审程序存在重大违法，可能影响公正审判等情形。
     2. 罪犯揭发重大犯罪事实或有其他重大立功表现：如罪犯揭发其他重大犯罪活动且查证属实，或阻止他人重大犯罪活动、协助司法机关抓捕其他重大犯罪嫌疑人等。
     3. 罪犯正在怀孕：基于人道主义精神和法律规定，对怀孕的妇女不适用死刑立即执行。

3. 申诉期间的处理：

   • 在申诉期间，如果并未发现上述停止执行的特定情形，那么原判决将继续执行。申诉的提出并不构成停止执行的法定理由。
   • 如果申诉被受理并审查后，发现原判决确实存在错误，那么可以通过审判监督程序进行改判或发回重审。但这并不影响在申诉期间原判决的执行，除非符合停止执行的特定情形。

法律建议：

• 对于被判处死刑立即执行的当事人及其家属，如果认为判决有错误，应及时提出申诉，并尽可能提供新的证据或线索以支持申诉请求。
• 同时，应密切关注执行前的动态，如果发现存在停止执行的特定情形，应立即向执行机关报告，并请求其停止执行并报告最高人民法院。

可能后果：

• 如果申诉未被受理或审查后未发现原判决错误，那么原判决将继续执行。
• 如果申诉被受理并审查后发现原判决错误，那么可能通过审判监督程序进行改判或发回重审，从而避免错误的执行。

综上所述，申诉期间一般并不停止对原判决的执行，但在特定情形下会停止执行。因此，当事人及其家属在提出申诉时，应充分了解相关法律规定，并积极配合执行机关和司法机关的工作。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。