针对您提出的“商家挂着羊头卖狗肉怎么申请赔偿”的问题，这确实是一个涉及消费者权益保护的重要议题。首先，我要明确的是，“挂羊头卖狗肉”这一行为在法律上明确构成对消费者的欺诈，您作为消费者，完全有权要求商家进行相应的赔偿。
一、赔偿类型及依据
基本赔偿：
- 您有权要求商家全额退还您购买商品或接受服务所支付的价款。这是最直接的赔偿方式，旨在恢复您的财产原状。
惩罚性赔偿：
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，如果商家存在欺诈行为，您还可以要求商家增加赔偿您受到的损失。具体来说，增加赔偿的金额为您购买商品的价款或者接受服务的费用的三倍；如果增加赔偿的金额不足五百元，则按五百元计算。这一规定体现了法律对欺诈行为的严厉制裁。
其他损失赔偿：
- 如果您因购买到与宣传不符的商品而遭受了人身伤害或其他财产损失，商家还应当赔偿您因此产生的医疗费、护理费、交通费等合理费用，以及因误工减少的收入。如果造成残疾或死亡，商家还需承担相应的残疾赔偿金或死亡赔偿金。
二、维权途径
在申请赔偿的过程中，您可以采取以下途径来维护自己的权益：
与商家协商：
- 首先，您可以尝试与商家直接沟通，说明您的情况并要求赔偿。如果商家愿意承担责任并给出合理的赔偿方案，那么问题可能得到迅速解决。
请求消费者协会或调解组织调解：
- 如果与商家协商无果，您可以向当地的消费者协会或依法成立的其他调解组织寻求帮助。这些组织通常会提供中立的调解服务，帮助您与商家达成和解。
向有关行政部门投诉：
- 您还可以向相关的行政部门（如市场监督管理局）投诉商家的欺诈行为。行政部门有权对商家进行调查，并根据调查结果采取相应的行政措施。
提请仲裁或诉讼：
- 如果其他途径都无法解决问题，您还可以根据与商家达成的仲裁协议提请仲裁机构仲裁，或者直接向人民法院提起诉讼。在仲裁或诉讼过程中，您需要提供充分的证据来支持自己的主张。
三、证据保留
在维权过程中，证据的保留至关重要。您应尽可能保留好以下证据：
- 购物凭证、交易记录、发票等证明您购买商品或接受服务的文件；
- 商品或服务的质量证明、商品照片等证明商品实际状况的材料；
- 与商家的沟通记录、鉴定报告等证明商家存在欺诈行为的证据。
综上所述，“挂羊头卖狗肉”的行为严重损害了消费者的合法权益。您作为消费者，应依法维护自己的权益，要求商家承担相应的法律责任。同时，我也建议您在未来的消费过程中保持警惕，仔细核对商品信息，避免再次遭受类似的欺诈行为。