结论：老公与前妻的儿子在特定情况下具有继承权，具体是否享有及享有的程度需根据其与被继承人的关系、是否存在有效遗嘱以及法律规定的其他因素来确定。以下是对此问题的详细分析：
一、对生父（即您的老公）遗产的继承权
法定继承权：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产的第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。其中，“子女”涵盖婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。因此，老公与前妻的儿子作为其亲生子女，属于法定的第一顺序继承人，对其生父的遗产享有法定继承权。
- 这一继承权并不因父母的离异而丧失，即便老公后来再婚，该子女依然有权继承其亲生父亲的遗产份额。
遗嘱对继承权的影响：
- 如果被继承人（即您的老公）生前通过订立遗嘱的方式，明确排除了该子女的继承权，那么在遗嘱有效的情况下，该子女将不能按照遗嘱继承其生父的遗产。
- 但值得注意的是，即便遗嘱排除了该子女的部分或全部继承份额，若该子女属于缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人，根据法律规定，遗嘱应当为其保留必要的遗产份额。
丧失继承权的行为：
- 如果该子女存在严重虐待、遗弃生父等丧失继承权的行为，并且这些行为得到了充分的证据证明，那么该子女可能会因此丧失继承权。不过，这种情况较为特殊，需要严格依据法律规定进行判断，并确保有确凿的证据支持。
二、对继母（即您）遗产的继承权
形成扶养关系的情况：
- 如果老公与前妻的儿子与您形成了扶养关系，即在经济上得到供养、生活上得到照料，或他经济供养了您、在生活中照料了您，那么根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，他也将被视为您的法定继承人之一，享有与其他亲生子女相同的继承权利。
未形成扶养关系的情况：
- 如果老公与前妻的儿子与您没有形成扶养关系，那么从法定继承的角度，他不会直接享有对您财产的继承权。然而，如果您通过遗嘱明确表示将自己的部分或全部遗产赠与给他，那么他可以依据遗嘱获得相应遗产，这种情况属于遗赠。
三、综合建议
提前规划：
- 对于遗产处理等重要事项，建议提前规划并咨询专业人士，如律师或财务规划师，以确保您的合法权益得到保障，并减少未来可能出现的家庭纠纷。
明确遗嘱：
- 如果您希望对遗产的分配有特定的意愿，建议通过订立遗嘱的方式明确表达。遗嘱应当符合法律规定的形式和实质要件，以确保其有效性。
家庭沟通：
- 在处理遗产问题时，家庭成员之间的沟通至关重要。通过坦诚的对话，可以增进理解、减少误解，并共同寻找最佳的解决方案。
如果您在遗产继承方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，提供详细的法律建议和指导。