关于您提出的“小三的孩子可以随父亲上户吗，以及是否必须做亲子鉴定”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、非婚生子女随父上户的法律基础
首先，需要明确的是，非婚生子女，即通常所说的“小三”的孩子，在我国法律上是享有与婚生子女同等的法律地位的。这意味着，在户籍登记、教育、医疗等各个方面，非婚生子女都应享受与婚生子女相同的待遇。因此，非婚生子女是可以随父亲上户的。
二、随父上户的具体流程与亲子鉴定
确认亲子关系：
- 在办理随父上户的过程中，确认亲子关系是至关重要的一步。这通常需要通过亲子鉴定来完成，亲子鉴定报告是办理户口登记的重要依据。
- 如果孩子的父亲主动承认孩子为其亲生，双方可以共同前往有资质的司法鉴定机构进行亲子鉴定。
- 如果父亲不主动承认亲子关系，或通过其他途径无法明确亲子关系，孩子的母亲或法定监护人可以向法院提起确认亲子关系的诉讼，并申请亲子鉴定。法院将指定专业鉴定机构进行鉴定，其结果具有法律效力。
准备必要材料：
- 除了亲子鉴定报告外，还需要准备父亲的身份证明（如身份证、户口簿等）、孩子的出生医学证明（记录孩子的出生信息）等。
- 根据不同地区的要求，可能还需要提供其他特定材料，如生育情况说明、父母的婚姻状况证明等。建议提前向当地户籍管理部门咨询，了解详细的材料清单。
提出申请与审核登记：
- 由父亲本人或监护人携带准备好的材料，到父亲户籍所在地的户籍管理部门提出上户申请。
- 户籍管理部门会对提交的材料进行审核，确认无误后，将为孩子办理户口登记手续。
三、关于亲子鉴定的必要性
- 一般情况下：为了确保孩子与父亲的亲子关系，以及办理户口登记的顺利进行，进行亲子鉴定是较为稳妥和常见的做法。这可以避免后续可能出现的法律纠纷和户籍管理上的麻烦。
- 特殊情况下：如果父亲能够提供其他充分且有效的证据来证明亲子关系（如出生时的医院记录、证人证言等），并且这些证据被户籍管理部门认可，那么在某些地区可能可能免于进行亲子鉴定。但这种情况相对较少，且具体要求因地区而异。
四、注意事项与建议
- 由于不同地区的户籍政策可能存在差异，具体的办理流程和要求应以当地户籍管理部门的规定为准。因此，在办理前建议提前咨询当地户籍管理部门或专业律师，了解清楚具体的操作流程和要求。
- 在实际操作过程中，可能会遇到一些特殊情况或额外要求。此时，应耐心配合，按照要求准备并提交相关材料。
- 请牢记非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或个人都不得对其加以危害或歧视。在办理过程中，如果遇到任何不公正对待或法律问题，应及时寻求法律援助或咨询专业律师。
综上所述，非婚生子女随父上户是符合我国法律规定的，且通常需要进行亲子鉴定以确认亲子关系。在实际操作中，应遵循相关流程和要求，确保顺利办理户口登记手续。