核心结论：若家人在监狱服刑期间被其他犯人敲诈勒索，可按以下步骤处理：

1. 及时向监狱管理部门反映情况
   • 反映方式：家人作为受害者，或者您作为家属，可以通过监狱规定的正常渠道，比如向监狱的管教民警反映这一情况。管教民警负责服刑人员的日常管理和教育，他们有责任和义务处理服刑人员之间的违法违规行为。在反映时，要尽可能详细地说明敲诈勒索的具体情况，包括时间、地点、涉及的人员、敲诈勒索的方式（如言语威胁、暴力胁迫等）以及索要的财物等内容。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国监狱法》等相关法律法规，监狱有保障服刑人员合法权益的职责，对于服刑人员之间的违法犯罪行为应当依法予以制止和处理。监狱管理部门会对反映的情况进行调查核实，如果情况属实，会依据监狱内部的规章制度对涉事的犯人进行相应的处罚，比如警告、记过、禁闭等，情节严重的可能会提请人民检察院或者法院追究其刑事责任。
2. 要求监狱保护受害者安全
   • 保护措施：在反映情况后，您可以要求监狱采取必要的措施保护您的家人免受进一步的伤害。监狱可以根据实际情况，将受害者与涉事的犯人进行隔离，安排在不同的监区或者监舍，避免他们再次接触。同时，监狱也会加强对受害者的关注和保护，例如增加巡查次数、安排专人进行心理疏导等，确保其人身安全和心理健康。
   • 法律依据：《中华人民共和国监狱法》规定，监狱应当对服刑人员进行思想、文化、技术教育，同时也要保护服刑人员的人身安全、合法财产和辩护、申诉、控告、检举等未被依法剥夺或者限制的权利。所以监狱有义务为受害者提供必要的保护。
3. 考虑通过法律途径追究涉事犯人责任（若情节严重）
   • 刑事责任：如果敲诈勒索的行为情节严重，达到了刑事犯罪的标准，比如数额较大或者多次敲诈勒索等，您可以建议监狱将案件移送司法机关处理。根据《中华人民共和国刑法》第二百七十四条的规定，敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑，并处罚金。司法机关会对涉事犯人进行立案侦查、起诉和审判，依法追究其刑事责任。
   • 民事赔偿：除了刑事责任外，您的家人作为受害者还有权要求涉事犯人进行民事赔偿。如果因敲诈勒索行为导致您的家人遭受了财产损失或者身体伤害，可以在刑事诉讼过程中提起附带民事诉讼，要求涉事犯人赔偿相应的经济损失，如医疗费、误工费、财产损失费等。

在整个处理过程中，您要保持与监狱管理部门的沟通，及时了解案件的进展情况。如果您在处理过程中遇到任何疑问或者需要进一步的法律帮助，都可以直接向我咨询，我会为您提供详细、专业的解答。