盗窃罪监外执行是会留下案底的。以下是对这一问题的详细解释：

案底的定义与性质

案底，通常指的是某人过去犯罪行为的记录，也被称为犯罪人员犯罪记录制度。在我国法律体系中，案底一般指的是有过刑事犯罪前科的档案记录，该档案由公安部门与相关国家机关保存。这种记录是长期保存的，并且无法消除，它将伴随犯罪人的一生。

监外执行的性质与条件

监外执行是刑罚执行方式的一种特殊变通，它适用于被判处有期徒刑或拘役但因某种法定特殊情形不适宜在监狱或其他刑罚执行机关执行刑罚的罪犯。这些特殊情形包括：

1. 罪犯有严重疾病并需要保外就医；
2. 罪犯是怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女；
3. 罪犯生活不能自理，且适用暂予监外执行不致危害社会。

重要的是要理解，监外执行并不改变犯罪人已经构成犯罪并被判刑的事实，它仅仅是刑罚执行方式的变更。

盗窃罪监外执行与案底的关系

当行为人因盗窃罪被法院判处刑罚，并决定适用监外执行时，这意味着其已经被司法机关认定构成盗窃罪且应承担相应的刑事责任。这一犯罪事实和判决结果会被记录在司法系统中，形成案底。因此，即使获得了监外执行的机会，犯罪人仍然会留下案底。

案底对未来的影响

拥有案底可能会对个人的未来生活产生一定影响。例如：

1. 就业方面：某些职位或行业可能会因犯罪记录而拒绝聘用；
2. 出国方面：也可能面临签证申请受限或拒签的情况。

建议与总结

因此，即使获得了监外执行的机会，犯罪人也应珍惜这个机会，严格遵守相关规定和要求，努力改正错误，争取早日回归社会并重新做人。同时，也要时刻牢记自己的犯罪记录，避免再次走上犯罪的道路。

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