超市售卖发霉食品是严重的违法行为，将面临多重法律责任和处罚。以下是对此问题的详细解答：
一、对消费者的赔偿责任
根据《中华人民共和国食品安全法》第一百四十八条，消费者在购买到不符合食品安全标准的发霉食品并因此受到损害时，有权向超市要求赔偿损失。超市作为经营者，应遵循首负责任制，先行赔付，不得推诿。若损失是由生产者造成的，超市在赔偿后有权向生产者追偿；反之亦然。此外，消费者除要求赔偿损失外，还可以要求支付价款十倍或损失三倍的赔偿金。若增加赔偿的金额不足一千元，则按一千元计算。但需要注意的是，这一条款不适用于仅存在不影响食品安全且不会误导消费者的标签、说明书瑕疵的情况。
二、行政部门的处罚措施
依据《中华人民共和国食品安全法》第一百二十四条，对于经营腐败变质、霉变生虫等不符合食品安全标准的食品，县级以上人民政府食品安全监督管理部门将采取以下处罚措施：
一般情形：没收违法所得及违法生产经营的食品、食品添加剂，并可没收用于违法生产经营的工具、设备、原料等。货值金额不足一万元的，并处五万元以上十万元以下罚款；货值金额一万元以上的，并处货值金额十倍以上二十倍以下罚款。
情节严重情形：若超市存在多次销售发霉食品、造成消费者严重健康损害等加重情节，处罚将更加严厉。这包括责令停产停业、吊销许可证，以及相关负责人一定期限内不得从事食品生产经营管理工作等。
三、可能涉及的刑事责任
在超市售卖发霉食品的行为造成严重后果，如导致多人食物中毒、引发严重食源性疾病等情况下，可能触犯《中华人民共和国刑法》中的生产、销售不符合安全标准的食品罪。具体刑罚如下：
足以造成严重食物中毒或其他严重食源性疾病的，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金。
对人体健康造成严重危害或有其他严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
后果特别严重的，处七年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。
四、对超市的建议
为避免上述法律风险和声誉损失，超市应加强食品安全管理，包括但不限于：
定期检查库存：确保食品新鲜、无变质，及时清理过期或发霉的食品。
严格把控进货渠道：选择信誉良好的供应商，确保食品来源可靠，并要求供应商提供相关的质量证明文件。
提高员工食品安全意识：定期培训员工，增强其对食品安全重要性的认识，确保员工在操作过程中严格遵守食品安全规范。
综上所述，超市售卖发霉食品将面临严格的法律责任和处罚，包括民事赔偿、行政处罚乃至刑事追责。因此，超市必须高度重视食品安全问题，采取有效措施确保食品质量，以维护消费者权益和自身声誉。