结论：大公司不与员工签订劳动合同是违法的，且根据不同情况，员工有权要求公司支付双倍工资或视为已订立无固定期限劳动合同，并可通过多种途径维护自身权益。

详细分析：

1. 入职一个月内未签合同：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。若已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同，公司应在用工之日起一个月内完成签订。此期间虽未签合同不合法，但不涉及双倍工资赔偿等惩罚性后果，可视为宽限期。不过，这并不意味着公司可以无限期拖延签订合同，员工仍应积极与公司沟通，要求尽快签订。

2. 超过一个月不满一年未签合同：

   • 依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，若公司自用工之日起超过一个月但不满一年未与员工订立书面劳动合同，需向员工每月支付二倍的工资。例如，若员工月工资为5000元，公司从第二个月起持续6个月未签合同，则员工除正常工资外，还可额外要求公司支付30000元作为赔偿（6个月×5000元/月）。这一规定旨在惩罚公司的违法行为，并保障员工的合法权益。

3. 满一年未签合同：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，若公司自用工之日起满一年仍未与员工订立书面劳动合同，则视为公司与员工已订立无固定期限劳动合同。无固定期限劳动合同指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同，这增强了员工的职业稳定性。此时，公司仍需补签书面无固定期限劳动合同，并从应当订立之日起向员工每月支付二倍的工资。这意味着，即使公司未与员工签订书面合同，员工也享有与签订无固定期限劳动合同相同的权益。

维权途径与建议：

• 协商：若公司存在不签劳动合同的违法行为，员工可首先尝试与公司协商，要求公司尽快签订书面劳动合同，并支付相应的双倍工资或补签无固定期限劳动合同。
• 投诉：若协商无果，员工可向当地劳动监察部门投诉，请求劳动监察部门介入调查，并依法对公司进行处罚。
• 劳动仲裁：员工还可向劳动仲裁机构申请劳动仲裁，通过法律途径维护自己的合法权益。在申请劳动仲裁时，员工应收集能证明与公司存在劳动关系的证据，如工资支付凭证、工作证、考勤记录、社保缴纳记录等。

实际案例参考：

以小李为例，他于2024年3月1日入职某大公司，但公司一直未与他签订书面劳动合同。若至2024年9月1日，公司仍未与小李签订合同，则小李有权要求公司从2024年4月1日起至2024年8月31日，每月支付双倍工资。若至2025年3月1日公司仍未签订合同，则视为公司与小李已订立无固定期限劳动合同，并且公司需从2024年4月1日起至2025年2月28日向小李支付双倍工资。

总结与建议：

大公司不与员工签订劳动合同不仅违法，还可能面临支付双倍工资或被视为已订立无固定期限劳动合同的法律后果。因此，公司应依法与员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。而员工也应了解自己的权益，必要时采取适当措施维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。