结论：对方承认骗你1000元，这一行为在法律上有可能构成诈骗，但具体是否构成犯罪还需结合其他因素综合判断。
分析说明：
诈骗罪的构成要件：
- 诈骗罪是指以非法占有为目的，使用欺骗方法，骗取数额较大的公私财物的行为。
- 构成诈骗罪需要满足四个要件：一是行为人具有非法占有的目的；二是使用了欺骗方法；三是骗取了数额较大的公私财物；四是行为人达到了刑事责任年龄，具有刑事责任能力。
关于数额的认定：
- 根据相关法律规定，诈骗公私财物价值三千元至一万元以上、三万元至十万元以上、五十万元以上的，应当分别认定为刑法第二百六十六条规定的“数额较大”、“数额巨大”、“数额特别巨大”。
- 在你提到的情况中，对方骗取的金额是1000元，这通常未达到“数额较大”的标准，因此，从数额上看，可能不构成诈骗罪。但需注意，不同地区可能根据经济状况对数额标准有所调整，且如果存在多次诈骗、针对特定群体（如老年人、残疾人）诈骗等情节，也可能影响定罪。
其他因素的考量：
- 除了数额，还需要考虑对方的行为是否满足诈骗罪的其他构成要件，如是否具有非法占有的目的、是否使用了欺骗方法等。
- 如果对方确实使用了欺骗方法，且具有非法占有的目的，即使数额未达到标准，也可能构成治安管理处罚法中的诈骗行为，受到行政处罚。
法律后果：
- 如果构成诈骗罪，将面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或管制，并可能处以罚金。
- 如果不构成犯罪，但构成治安管理处罚法中的诈骗行为，将可能面临行政拘留、罚款等行政处罚。
行动建议：
- 收集证据：如果可能，尽量收集对方承认骗钱的证据，如聊天记录、录音、视频等，这些证据在后续的法律程序中可能起到关键作用。
- 报警处理：你可以向当地公安机关报案，说明情况并提供相关证据。公安机关会根据具体情况进行调查，并根据调查结果决定是否立案。
- 咨询律师：如果你对法律程序或可能面临的法律后果有疑问，可以向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。
特殊场景：
- 如果对方多次实施类似行为，或者针对特定群体（如老年人、残疾人）实施诈骗，即使单次金额未达到标准，也可能因情节严重而被追究刑事责任。
- 如果对方在骗取钱财后，有挥霍、转移财产等行为，表明其具有非法占有的目的，这也可能影响定罪和量刑。
总结与启示：
对方承认骗你1000元，这一行为在法律上有可能构成诈骗，但具体是否构成犯罪还需结合数额、行为手段、目的等多方面因素综合判断。在面对类似情况时，建议及时收集证据并报警处理，同时咨询专业律师以获取更具体的法律建议。