结论：在对方肇事逃逸的情况下，您虽无权直接要求对逃逸者进行拘留，但有权向公安机关报案并表达处理诉求，最终是否拘留由执法机关依法决定。以下是对此问题的详细分析：
一、受害者的权利与义务
报案权利：作为受害者，您有权利向当地公安机关报案，并提供尽可能详尽的事故信息和相关证据，如事故现场照片、视频记录、目击者证言等。这些信息对执法机关快速定位并抓捕肇事逃逸者至关重要。
表达诉求：在报案过程中，您可以明确表达对逃逸者进行法律追究的意愿，包括希望采取拘留措施的诉求。这是公民维护自身合法权益的合理主张。
二、公安机关的处理依据与权力
调查与处理：公安机关接到报案后，会依法展开调查，包括对肇事逃逸行为的取证、定性和相应的法律程序。是否拘留逃逸者，以及拘留的具体形式和时长，均由公安机关根据相关法律法规和案情实际情况来决定。
行政拘留：若肇事逃逸行为尚不构成犯罪，但情节恶劣或造成影响较大，根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条的规定，公安机关交通管理部门可对逃逸者处以二百元以上二千元以下罚款，并可并处十五日以下拘留。这里的“可以并处”意味着拘留并非强制性的，而是由公安机关根据具体情节和肇事者的态度等因素来决定是否执行。
刑事拘留：若肇事逃逸行为构成犯罪，如造成一人以上重伤且负事故全部或主要责任，并具逃逸情节，将依法追究刑事责任。依据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条的规定，可能面临三年以上七年以下有期徒刑，甚至更严厉的刑罚。在此情况下，为了保障刑事诉讼的顺利进行，公安机关可能会依法对肇事者采取刑事拘留措施。
法律责任：肇事逃逸行为违法，一旦被抓获，逃逸者将面临罚款、吊销驾驶证、行政拘留乃至刑事责任等处罚。具体法律责任取决于当地法律法规和肇事逃逸的严重程度。
三、民事赔偿
除了可能的刑事或行政处罚外，肇事逃逸者还需承担因事故造成的民事赔偿责任，包括您的医疗费用、车辆维修费用、误工费等损失。您可以通过法律途径寻求赔偿，以维护自身合法权益。
四、建议与提醒
及时报案：在发生交通事故后，尤其是对方逃逸的情况下，应尽快向公安机关报案，并提供尽可能多的证据和信息，以便执法机关能够迅速展开调查并抓捕逃逸者。
保留证据：在事故现场，尽量保留相关证据，如拍照、录像、记录目击者信息等。这些证据在后续的法律程序中可能起到关键作用。
寻求法律援助：如果您在处理交通事故过程中遇到法律难题或需要进一步的法律帮助，可以随时向我咨询。作为专业律师，我将为您提供专业的法律意见和帮助。
综上所述，虽然您无权直接要求拘留肇事逃逸者，但通过报案、提供证据和协助调查等方式，可有效推动执法机关依法处理肇事逃逸案件。同时，您也可寻求法律援助来维护自己的合法权益。