若行政起诉判决书存在极端错误，尤其是核心事实认定错误，你可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

1. 申请再审：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第九十条的规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为确有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。
   • 操作建议：你需要准备充分的证据材料，包括但不限于原判决书、相关证据、能够证明原判决事实认定错误的新的证据等，向上一级人民法院提交再审申请书，详细阐述原判决存在的错误及理由，请求法院对案件进行再审。

2. 提出申诉：

   • 适用情形：如果你认为原判决在事实认定、法律适用或程序上存在严重错误，且该错误影响了判决的公正性，你也可以考虑向人民检察院提出申诉。
   • 操作建议：申诉时，你需要提交申诉状，详细说明申诉的理由和依据，并附上相关证据材料。人民检察院会对你的申诉进行审查，如果认为申诉有理，可能会依法提出抗诉或检察建议。

3. 寻求法律援助或咨询：

   • 重要性：在处理此类复杂法律问题时，寻求专业律师的法律援助或咨询是非常重要的。律师能够为你提供专业的法律意见，帮助你分析案件情况，制定合适的维权策略。
   • 操作建议：你可以联系当地的律师事务所或法律援助中心，咨询有经验的行政诉讼律师，了解你的具体权益和可行的维权途径。

4. 关注案件后续进展：

   • 必要性：在申请再审或提出申诉后，你需要密切关注案件的后续进展，及时了解法院或人民检察院的处理意见。
   • 操作建议：你可以与受理再审申请或申诉的法院或人民检察院保持联系，定期询问案件处理情况，并根据需要补充提交相关证据材料。

可能面临的法律后果及应对建议：

• 再审或申诉被驳回：如果再审申请或申诉被驳回，你可能需要考虑是否接受原判决的结果，或者进一步通过其他合法途径寻求救济。此时，你可以再次咨询律师，了解是否有其他可行的维权方式。
• 再审或申诉成功：如果再审申请或申诉成功，法院或人民检察院可能会撤销原判决，并指令原审法院重新审理或者由上一级法院直接提审。在这种情况下，你需要积极配合法院的审理工作，提供必要的证据材料，以维护自己的合法权益。

额外提醒：

• 在整个维权过程中，你需要保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语攻击等不当方式。
• 你需要严格遵守法律程序和规定，确保自己的维权行为合法合规。

如果你在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供专业、全面的法律意见和帮助。