当电梯监控坏了而物业不管时，业主可以通过以下途径来维护自身权益，确保电梯监控得到及时修复：

一、明确物业责任与沟通

1. 查阅合同：首先，业主应仔细查阅与物业公司签订的物业服务合同，确认其中是否明确规定了物业公司对电梯监控等共用设施设备的维护和修理责任。这是后续行动的基础，有助于明确双方的权利和义务。

2. 与物业沟通：

   • 口头沟通：业主可以先尝试与物业公司进行口头沟通，说明电梯监控损坏的情况，以及这对小区安全和居民生活的影响，要求物业尽快安排维修。
   • 书面函件：若口头沟通无果，业主可以以书面形式向物业公司发函，详细阐述电梯监控损坏的现状、对居民的影响，以及要求物业在规定时间内完成维修的诉求。保留好函件的发送记录，作为后续维权的证据。

二、向相关部门投诉

1. 房地产管理部门：业主可以向当地住建局或房管局投诉，这些部门负责对物业服务企业进行监督管理。投诉时，应提供电梯监控损坏的证据，以及与物业沟通的记录，要求相关部门调查并督促物业整改。

2. 特种设备安全监督管理部门：由于电梯属于特种设备，其监控系统也受到严格监管。业主可以向当地市场监督管理部门举报电梯监控损坏未及时维修的问题。该部门有权要求物业立即停止电梯的不安全运行状态（若监控损坏影响电梯安全运行），并限期整改。

三、法律途径维护权益

1. 民事诉讼：

   • 若物业仍不作为，业主可以个人或业主委员会的名义，依据物业服务合同向法院提起诉讼，要求物业承担维修电梯监控的责任，并赔偿因电梯监控未及时维修给业主造成的损失（如因监控缺失导致的财物损失等）。
   • 在诉讼过程中，提供充分证据至关重要，包括电梯监控损坏的照片、视频，与物业沟通的记录，以及因电梯监控问题导致损失的相关证明等。

2. 消费者协会投诉：业主也可向消费者协会投诉，消协会进行调查和调解，帮助解决物业不履行维修义务的问题。虽然消协的调解不具有强制力，但可以作为业主维权的一种辅助手段。

四、其他建议

1. 联合行动：考虑联合其他受影响的业主共同行动，增强维权的力量和效果。通过集体投诉或诉讼，可以更有效地推动问题的解决。

2. 积极配合：无论是向监管部门投诉还是提起诉讼，业主都应积极配合调查或诉讼程序，提供必要的证据和信息，以确保权益得到有效保护。

法律依据：

• 《中华人民共和国民法典》第九百三十九条和第九百四十二条明确规定，物业服务企业有义务按照合同约定对小区共用设施设备进行维护和管理，包括电梯监控的妥善维修和养护。
• 《物业管理条例》第二条和第三十五条也强调，物业公司有责任对房屋及配套的设施设备和相关场地进行维修、养护、管理，且应履行物业服务合同中的维修保障义务。若物业公司未能履行这些义务，导致业主人身、财产安全受到损害的，应当依法承担相应的法律责任。

综上所述，当电梯监控坏了而物业不管时，业主应明确物业责任、积极沟通、向相关部门投诉，并在必要时采取法律途径来维护自身权益。通过这些措施，可以有效推动问题的解决，确保电梯监控得到及时的修理和维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。