结论：过错方是否会私下给一定赔偿，取决于双方协商情况及过错方意愿，法律并未强制要求过错方在保险公司理赔后必须额外私下赔偿，但实践中存在私下赔偿的可能性。具体分析如下：

1. 保险公司理赔范围与性质

   • 保险公司根据保险合同约定，在保险责任范围内对被保险人或第三者（受害方）进行赔偿。这种赔偿是基于保险法律关系，旨在弥补受害方因交通事故造成的经济损失。
   • 保险公司的赔偿通常包括医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金、财产损失等，具体项目依据保险条款和事故实际情况确定。

2. 过错方私下赔偿的可能性

   • 自愿补偿：过错方可能出于愧疚、和解意愿或其他个人原因，自愿向受害方提供额外的经济补偿。这种补偿不受保险公司理赔的限制，完全取决于过错方的个人意愿。
   • 超出保险范围的损失：如果受害方的损失超出了保险公司的赔偿范围（如某些非医保用药、精神损害抚慰金等），过错方可能愿意承担这部分额外损失，以达成和解或减轻自身法律责任。
   • 避免诉讼或纠纷：过错方可能希望通过私下赔偿来避免进一步的法律纠纷或诉讼，从而节省时间和成本。

3. 私下赔偿的注意事项

   • 书面协议：如果双方达成私下赔偿的协议，建议签订书面协议，明确赔偿金额、支付方式、时间等条款，以避免后续纠纷。
   • 不影响保险公司理赔：私下赔偿不应影响受害方从保险公司获得应有的赔偿。受害方仍有权根据保险合同向保险公司主张权利。
   • 合法合规：私下赔偿应遵守法律法规，不得涉及非法活动或逃避法律责任。

4. 法律建议

   • 在处理交通事故理赔时，建议受害方首先与保险公司沟通，了解保险赔偿的范围和流程。
   • 如果过错方提出私下赔偿，受害方应谨慎考虑，并咨询专业律师的意见，以确保自身权益得到充分保障。
   • 双方应尽量通过协商、调解等和平方式解决纠纷，以减少诉讼成本和时间。