结论前置：劳动合同到期时，公司并不能直接“让员工辞职”，而是涉及劳动合同是否续签以及终止劳动关系的相关法律规定。具体来说，员工可以选择不续签劳动合同而自然终止劳动关系，或者如果公司提出不续签，则需根据法律规定支付经济补偿。

一、劳动合同到期后的基本法律情况

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满即终止。这意味着，如果劳动合同到期，且双方没有续签的意愿或行动，那么劳动关系将自然终止。此时，并不涉及“辞职”的问题，因为辞职通常指的是劳动者在劳动合同期限内主动提出解除劳动合同。

二、员工的选择与公司的责任

1. 员工选择不续签：

   • 如果员工在劳动合同到期后不想继续工作，无需专门提出辞职申请，只需明确表示不再续签劳动合同，双方劳动关系即自然终止。
   • 在这种情况下，如果公司没有维持或提高劳动合同条件续订，而员工不同意续订，公司无需支付经济补偿。但如果公司降低了劳动合同条件续订，员工不同意续订，或者公司主动提出不续签，那么公司需向员工支付经济补偿。经济补偿的标准通常按照员工在本单位的工作年限来计算，每满一年支付一个月工资。

2. 公司选择不续签：

   • 如果公司在劳动合同到期后决定不续签，那么除了上述提到的经济补偿责任外，公司还需确保这一决策不违反任何劳动法规定，如歧视、不公平对待或其他违法行为。

三、特殊情况下的处理

• 员工存在法定情形：即使劳动合同到期，如果员工存在从事接触职业病危害作业未进行离岗前职业健康检查、疑似职业病病人在诊断或医学观察期间、在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力、患病或非因工负伤在规定的医疗期内、女职工在孕期产期哺乳期、在本单位连续工作满十五年且距法定退休年龄不足五年等法定情形，公司也不能依照劳动合同期满的规定终止劳动合同，而应续延至相应情形消失时为止。

• 工伤员工的特殊处理：对于因工致残的员工，根据其伤残等级有不同的处理规定。例如，被鉴定为一级至四级伤残的，保留劳动关系并退出工作岗位；被鉴定为五级、六级伤残的，保留劳动关系并由用人单位安排适当工作；被鉴定为七级至十级伤残的，劳动合同期满可以终止，或由职工本人提出解除劳动合同，此时由工伤保险基金支付一次性工伤医疗补助金，用人单位支付一次性伤残就业补助金。

四、建议与注意事项

• 提前沟通：无论是员工还是公司，在劳动合同到期前都应提前进行沟通，明确双方的意愿和期望，以便做出合理的决策。
• 办理离职手续：如果劳动关系终止，双方应按照公司规定或双方协商的约定办理离职手续和交接工作，确保工作的顺利进行和权益的保障。
• 保留相关证据：在劳动关系终止过程中，双方都应妥善保留相关证据，如辞职信、邮件记录、离职证明等，以备日后可能出现的争议或纠纷。

作为孙润润律师，我建议你在面对劳动合同到期的问题时，根据自己的实际情况和法律规定做出明智的选择。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。