结论：在乘坐公交车被摔伤且司机负全责的情况下，一般应起诉公交公司，而非直接起诉司机个人。以下从法律关系、责任承担主体及实际操作角度进行详细分析：
一、法律关系分析
雇佣关系与职务行为：
- 司机作为公交公司的员工，在执行工作任务（即驾驶公交车）过程中造成他人损害的，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条的规定，用人单位（公交公司）应当承担侵权责任。
- 这意味着，司机在职务行为中造成的损害，其法律责任应由公交公司承担，而非司机个人。
合同关系：
- 乘客与公交公司之间存在运输合同关系。公交公司有义务将乘客安全、准时地运送到目的地。
- 若因公交公司的过错（如司机操作不当）导致乘客受伤，公交公司构成违约，应承担违约责任。同时，若该行为也构成侵权，乘客可选择依据合同关系或侵权关系主张权利。
二、责任承担主体
公交公司作为责任主体：
- 如前所述，无论是基于职务行为还是运输合同关系，公交公司都是法律上的责任承担主体。
- 起诉公交公司可以更直接地追究其管理责任，如司机培训、车辆维护等，从而更有效地维护乘客的合法权益。
司机个人责任：
- 在一般情况下，司机个人不直接对乘客承担赔偿责任。但若司机存在故意或重大过失，且公交公司在承担赔偿责任后有权向司机追偿的，这属于公交公司与司机之间的内部责任划分问题，与乘客无关。
三、实际操作建议
收集证据：
- 乘客应尽快收集相关证据，如事故现场照片、视频、证人证言、医疗记录等，以证明事故的发生及自己的受伤情况。
- 同时，保留好车票、乘车记录等，以证明与公交公司之间的运输合同关系。
起诉公交公司：
- 基于上述法律关系和责任承担主体的分析，乘客应直接起诉公交公司，要求其承担赔偿责任。
- 赔偿范围通常包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。
法律程序：
- 乘客可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼，提交起诉状及相关证据材料。
- 法院将依法审理案件，并根据事实和法律规定作出判决。若公交公司不服判决，可依法上诉。
四、特殊情况说明
- 若司机存在故意犯罪行为（如故意伤害乘客），则司机个人也可能承担刑事责任。但在此情况下，乘客仍可同时起诉公交公司要求民事赔偿，因为公交公司的民事责任并不因司机的刑事责任而免除。
总结：在乘坐公交车被摔伤且司机负全责的情况下，乘客应直接起诉公交公司要求赔偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。