结论：工作期间被第三人打伤，公司是否承担责任需分情况讨论，主要取决于公司是否存在过错以及是否履行了相应的安全保障义务。
一、公司存在过错的情况
未尽安全保障义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条的规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。虽然该条款直接列举的场所未明确包括工作场所，但工作场所作为员工日常工作的区域，公司同样负有保障员工人身安全的义务。
- 具体情形：如果公司的工作场所存在安全隐患，如照明不足、监控缺失、安保人员不足等，且这些隐患与员工被第三人打伤之间存在因果关系，那么公司可能因未尽安全保障义务而承担相应的赔偿责任。
未及时制止或协助处理：
- 如果公司在员工被第三人打伤的过程中或之后，未及时采取措施制止暴力行为或协助员工处理伤害事宜，也可能被视为存在过错，从而承担一定的赔偿责任。
二、公司无过错的情况
第三人独立实施侵权行为：
- 如果员工被第三人打伤是第三人独立实施的侵权行为，且公司对此没有过错，如公司已经采取了合理的安全保障措施，但无法预见或防止第三人的暴力行为，那么公司通常不承担赔偿责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条的规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在此情况下，由于公司无过错，因此不承担侵权责任。
员工自身过错导致：
- 如果员工被第三人打伤是由于员工自身的过错导致的，如员工主动挑衅或激怒第三人，那么公司通常也不承担赔偿责任。但需要注意的是，如果公司能够证明员工的行为与工作无关，且公司已经尽到了合理的安全保障义务，那么公司的责任将进一步减轻或免除。
三、特殊情况：工伤保险与民事赔偿的竞合
- 如果员工在工作期间被第三人打伤，且该伤害被认定为工伤，那么员工可以同时享受工伤保险待遇和民事赔偿。但需要注意的是，根据《中华人民共和国社会保险法》第四十二条的规定，由于第三人的原因造成工伤，第三人不支付工伤医疗费用或者无法确定第三人的，由工伤保险基金先行支付。工伤保险基金先行支付后，有权向第三人追偿。这意味着，在工伤保险与民事赔偿竞合的情况下，员工不能重复获得赔偿，但可以先通过工伤保险获得及时救治和补偿，再向第三人追偿。
四、建议与行动
- 及时报警并保留证据：员工在遭受第三人打伤后，应立即报警并保留好相关证据，如医疗记录、监控视频、证人证言等，以便后续维权。
- 申请工伤认定：如果伤害符合工伤认定条件，员工应及时向公司或当地社保部门申请工伤认定，以便享受工伤保险待遇。
- 咨询专业律师：在处理此类纠纷时，员工可以咨询专业律师，了解自己的权益和维权途径，以便更好地维护自己的合法权益。
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