银行有权执行该车辆，但需分情况讨论，具体如下：

1. 抵押权设立的合法性
   根据《民法典》第394条，抵押权自抵押合同生效时设立，未经登记不得对抗善意第三人。若车辆抵押已依法办理登记（如机动车登记证书备注抵押信息），银行作为抵押权人享有优先受偿权，即使家人不知情，银行仍有权通过拍卖、变卖车辆实现债权。
   例外情形：若抵押未登记（如仅签订合同未办理手续），根据《民法典》第403条，银行不得对抗善意第三人（如家人已将车辆转让给不知情买受人），但银行仍可向抵押人（已故配偶）的遗产主张权利。

2. 债务继承与执行范围
   根据《民法典》第1161条，继承人仅在继承遗产实际价值范围内承担债务。若车辆为夫妻共同财产，需先分割一半归配偶所有，剩余部分作为遗产。银行仅能就遗产部分主张权利，且执行不得超出遗产价值。
   示例：车辆评估价20万元，若其中10万元为配偶个人财产，剩余10万元为遗产，银行最多执行10万元（需扣除其他优先债权）。

3. 家人不知情的抗辩权
   若家人能证明对抵押不知情（如未在抵押合同签字、未使用贷款资金），可主张抵押合同无效或撤销，但需满足《民法典》第148-151条规定的欺诈、胁迫等情形。实践中，银行通常要求配偶签署《同意抵押声明书》，若未签署，家人可抗辩抵押无效，但需承担举证责任。

4. 执行程序中的救济途径
   家人可在执行阶段提出执行异议，主张对车辆的所有权或优先购买权。若银行未依法通知继承人参与诉讼，家人可依据《民事诉讼法》第232条申请再审或提起第三人撤销之诉。

建议行动步骤：

1. 核查车辆登记证书，确认抵押是否登记；
   
2. 梳理贷款资金流向，判断是否用于夫妻共同生活；
   
3. 收集配偶不知情的证据（如聊天记录、证人证言）；
   
4. 咨询律师评估抵押合同效力及执行风险，必要时提起执行异议之诉。
   

如需进一步分析具体证据或制定应对方案，可直接向我提供抵押合同、车辆登记信息等材料。