结论：在交通事故发生后，您确实有权催促交警部门及时出具交通事故责任认定书，且可以通过多种合法途径进行催促。

详细分析与建议：

1. 了解责任认定书的出具时限：

   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第九十三条，公安机关交通管理部门对经过勘验、检查现场的交通事故应当在勘查现场之日起10日内制作交通事故认定书。对需要进行检验、鉴定的，应当在检验、鉴定结果确定之日起5日内制作交通事故认定书。了解这一时限有助于您合理催促交警部门。

2. 友好沟通与询问：

   • 首先，您可以尝试与处理事故的交警进行友好沟通，询问案件进展情况，并合理表达您希望尽快拿到责任认定书的诉求。在沟通过程中，保持冷静和理性，避免使用过激言辞。

3. 书面申请与材料提交：

   • 如果口头沟通效果不佳，您可以撰写书面申请，详细说明事故经过、个人情况以及催促出具责任书的具体理由。同时，附上相关证明材料，如事故现场照片、医疗记录、证人信息等，以增强申请的说服力。将书面申请递交给负责处理该事故的交警部门，并保留递交记录。

4. 通过正规渠道反映：

   • 如果交警部门无正当理由未在规定时间内出具责任认定书，您可以向上一级交警部门或所属本级人民政府的督察进行投诉。在投诉时，明确指出交警部门未履行其法律义务，并要求按照法律规定及时出具责任认定书。

5. 借助法律程序推动：

   • 在极端情况下，如果交警部门仍然拖延出具责任认定书，您可以考虑通过法律程序来推动。例如，您可以根据《中华人民共和国行政复议法》向上一级公安机关交通管理部门或该交警部门所属的本级人民政府提出行政复议申请，要求审查并责令其在合理期限内履行职责。如果行政复议未能解决问题，您还可以根据《中华人民共和国行政诉讼法》向人民法院提起行政诉讼，请求法院判决交警部门履行法定职责，及时出具责任认定书。

注意事项：

• 在整个催促过程中，保持耐心与礼貌至关重要。理解交警部门的工作负担，以平和的态度进行沟通。
• 积极配合交警部门提供所需信息和材料，以加快处理进程。
• 明确自己的合法权益，依法维权，避免采取过激行为或非法手段。

后续行动建议：

• 如果您已经尝试了上述方法但仍然未能获得责任认定书，或者您在处理过程中遇到任何法律问题，都可以直接向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供针对性的法律建议和帮助。