涉嫌虚假宣传被刑拘后，办理取保候审的时间节点和可能性需结合案件具体情况分析，但通常可在刑事拘留的37天内提出申请，能否获批取决于是否符合法定条件。以下是具体分析：

1. 取保候审的申请时间

根据《刑事诉讼法》第九十一条，刑事拘留的最长期限为37天（包括检察院审查逮捕的7天）。在此期间，犯罪嫌疑人或其辩护人、近亲属均可向办案机关（公安机关或检察院）提出取保候审申请。实践中，建议在刑事拘留初期（尤其是前15天）即委托律师介入，尽早评估案件并提交申请，避免错过黄金时间。

2. 取保候审的法定条件

根据《刑事诉讼法》第六十七条，需满足以下条件之一：

• 可能判处管制、拘役或独立适用附加刑：若虚假宣传行为情节较轻，可能面临较轻刑罚，符合此条件；
• 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保不致发生社会危险性：需证明犯罪嫌疑人无逃跑、串供、毁灭证据等风险；
• 患有严重疾病、生活不能自理，或怀孕/正在哺乳婴儿：需提供医疗证明等材料；
• 羁押期限届满，案件未办结：此情形较少见，通常适用于长期未结案的情况。

虚假宣传案件中，关键需证明“社会危险性较低”，例如：犯罪嫌疑人系初犯、认罪态度好、已退赔违法所得、无前科劣迹等。

3. 取保候审的审批流程

• 公安机关决定：若案件由公安机关侦查，需经县级以上公安机关负责人批准；
• 检察院审查：若公安机关提请逮捕，检察院需在7日内作出是否批准逮捕的决定。若不批准逮捕，公安机关应立即释放并可变更强制措施为取保候审；
• 法院阶段：若案件进入审判阶段，被告人或辩护人可向法院申请取保候审。

整个流程中，律师的介入至关重要。律师可通过会见犯罪嫌疑人、查阅案卷材料，向办案机关提交法律意见书，针对性地论证取保候审的合理性，提高申请成功率。

4. 取保候审后的注意事项

• 遵守规定：需严格遵守《刑事诉讼法》第七十一条的规定，如未经批准不得离开所居住的市县、及时报告住址变动、按时到案等；
• 配合调查：需随时配合公安机关、检察院的调查工作，不得干扰证人作证或毁灭证据；
• 担保方式：需提供保证人或缴纳保证金（保证金数额由办案机关根据案件情况决定）。

5. 若取保候审被拒怎么办？

若办案机关拒绝取保候审，律师可进一步分析原因（如证据不足、社会危险性评估过高等），并在后续程序中（如检察院审查逮捕阶段、逮捕后羁押必要性审查阶段）继续争取变更强制措施。

建议：若您或您的亲友涉嫌虚假宣传被刑拘，应尽快委托专业律师介入，通过会见、阅卷、与办案机关沟通等方式，全面评估案件并制定取保候审策略。如有进一步问题，可直接向我咨询，我将结合具体案情为您提供详细解答。