结论：偷自行车拘留一个月是否有案底，取决于盗窃行为的性质、所受的处罚类型以及是否经过法院的判决。具体来说：
若盗窃行为仅构成一般违法行为，受行政拘留：
- 在这种情况下，即使被拘留一个月，也不会留下刑事案底。行政拘留的记录虽会保存在公安机关，但这并不构成刑事犯罪记录。
- 实际影响：虽然行政拘留不构成刑事案底，但在某些特殊情况下，如报考军警院校、申请某些重要公职岗位时，这一记录可能会被审查到并产生一定影响。
若盗窃行为构成犯罪，且经法院判决有罪：
- 在这种情况下，无论拘留时间长短，都会留下犯罪记录，即案底。这是因为法院的有罪判决意味着行为人的犯罪事实得到了法律确认，相关犯罪信息会被记录在个人的犯罪档案中。
- 实际影响：犯罪记录对个人生活的影响更为深远，可能涉及就业限制（如无法进入某些行业、企业招聘受限）、出国限制以及子女在某些政审情况下的不利影响。
若案件最终处理结果为撤销、不起诉或判决无罪：
- 公安机关撤销案件：在侦查过程中，若公安机关发现犯罪嫌疑人没有犯罪事实，或者存在《刑事诉讼法》规定的情形（如情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪的等），公安机关会撤销案件。此时，行为人因未构成犯罪，故不会留下案底。
- 检察院决定不起诉：案件侦查终结后移送人民检察院审查起诉。若人民检察院认为犯罪嫌疑人没有犯罪事实，或者存在《刑事诉讼法》规定的情形，应当作出不起诉决定。对于犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚的，人民检察院也可以作出不起诉决定。在这种情况下，行为人同样不会留下案底。
- 法院判决无罪：即便案件被起诉到法院，若经过法院审理，最终判决被告人无罪，那么行为人自然也不会留下案底。因为无罪判决意味着行为人的犯罪事实没有得到法律确认。
法律背景与建议：
- “案底”通常指的是一个人在公安机关的犯罪记录，它会对个人的未来产生诸多不利影响。因此，了解盗窃行为是否构成犯罪以及案件的最终处理结果至关重要。
- 如果你或你身边的人遇到了类似情况，建议尽快向我咨询，以便更好地了解案件的性质、可能的法律后果以及应对策略。作为专业律师，我将根据具体情况提供详细的法律分析和建议。