结论：故意教唆指使他人对其饮用水井旁倒入大量养殖场猪粪的行为，是违法的，可能涉及多个法律层面的责任。
详细分析：
环境侵权责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》中关于环境污染和生态破坏责任的规定，行为人因污染环境、破坏生态造成他人损害的，应当承担侵权责任。在此情况下，故意教唆指使他人向饮用水井旁倒入猪粪，显然是对环境的污染行为，若因此导致他人（如饮用水井的使用者）受到损害，教唆者和实际倾倒者均需承担侵权责任。
- 侵权责任可能包括赔偿损失、恢复原状等。若造成严重后果，如饮用水源受到长期污染，影响居民健康，还可能涉及更高额的赔偿和更严厉的法律责任。
刑事责任：
- 如果该行为构成犯罪，如污染环境罪，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，教唆他人犯罪的，应当按照他在共同犯罪中所起的作用处罚。这意味着，教唆者不仅需对实际倾倒行为负责，还可能因其教唆行为而面临更重的刑事处罚。
- 污染环境罪的具体构成要件包括违反国家规定排放、倾倒或者处置有放射性的废物、含传染病病原体的废物、有毒物质或者其他有害物质，严重污染环境。在此案例中，向饮用水井旁倒入大量猪粪，若经鉴定达到严重污染环境的程度，即可能构成此罪。
行政责任：
- 除了民事和刑事责任外，教唆者和实际倾倒者还可能面临行政处罚。根据《中华人民共和国环境保护法》等相关法律法规，对于违反环境保护规定的行为，环保部门有权进行处罚，包括罚款、责令停止违法行为、限期改正等。
建议：
- 立即停止违法行为：如果正在进行或计划进行此类行为，应立即停止，以避免进一步的法律责任。
- 主动承担责任：如果已经造成了损害，应主动与受害者协商赔偿事宜，并积极配合相关部门的调查和处理。
- 咨询专业律师：在处理此类复杂法律问题时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。虽然我不能直接提供联系方式，但你可以直接向我提问，我会尽我所能为你提供帮助。
后续思考：
- 在处理此类环境侵权案件时，除了考虑法律责任外，还应关注环境保护和公共利益的重要性。通过法律手段维护环境权益，不仅是对个人利益的保障，也是对社会公共利益的维护。
- 对于教唆行为，法律上有明确的处罚规定，这体现了法律对共同犯罪中教唆行为的严厉打击态度。因此，在日常生活中，我们应遵守法律法规，不参与任何教唆或协助他人实施违法行为的活动。