结论：您是否需要承担责任，取决于具体情况，包括对方动手的性质、您的防卫行为是否适度以及是否存在其他情节等。以下从不同角度为您详细分析：
一、正当防卫的角度
正当防卫的构成要件：
- 存在不法侵害：对方先动手，这构成了一个不法侵害行为。
- 防卫行为针对不法侵害人：您将对方手指打断，是针对对方的不法侵害行为进行的防卫。
- 防卫行为在必要限度内：这是判断您是否需要承担责任的关键。如果您的防卫行为明显超过了制止不法侵害所必需的限度，造成了重大损害，那么您可能需要承担防卫过当的责任。
防卫过当的后果：
- 如果您的防卫行为被认定为防卫过当，您可能需要承担一定的民事赔偿责任，甚至可能面临刑事责任（如故意伤害罪，但会减轻或免除处罚）。
二、互殴的角度
互殴的认定：
- 如果双方在争执过程中都动手了，且没有明显的防卫意图，那么可能被认定为互殴。
- 在互殴情况下，双方都可能需要对对方的伤害承担责任。
互殴的后果：
- 如果您被认定为互殴的一方，您可能需要承担对方手指打断的民事赔偿责任，甚至可能面临刑事责任（如故意伤害罪）。
三、具体情节的影响
对方动手的性质：
- 如果对方只是轻微推搡或辱骂，而您直接将其手指打断，那么您的防卫行为可能被认为过度。
- 如果对方使用凶器或进行严重暴力攻击，您将其手指打断可能被视为合理的防卫行为。
您的主观意图：
- 如果您是为了保护自己或他人的人身安全而采取防卫行为，且没有故意伤害对方的意图，那么您的责任可能会减轻。
- 如果您有故意伤害对方的意图，那么您可能需要承担更重的责任。
四、法律建议
- 及时报警：无论情况如何，您都应该及时报警，让警方介入调查。这有助于保护您的权益，并为您后续的法律行动提供证据。
- 收集证据：尽可能收集与事件相关的证据，如现场照片、视频、证人证言等。这些证据将有助于证明您的防卫行为是否合理。
- 咨询律师：在事件发生后，您应该尽快咨询专业律师，了解您的法律权益和可能的法律后果。律师将能够根据您的具体情况提供针对性的法律建议。
举例说明：假设对方只是轻微推搡您，并没有使用凶器或进行严重暴力攻击，而您直接将其手指打断。在这种情况下，您的防卫行为可能被认为过度，您可能需要承担一定的民事赔偿责任。如果对方使用凶器对您进行攻击，您在防卫过程中将其手指打断，那么您的防卫行为可能被视为合理的，您可能不需要承担责任或责任较轻。
后续思考依据：在判断您是否需要承担责任时，法院会综合考虑多种因素，包括对方动手的性质、您的防卫行为是否适度、是否存在其他情节等。因此，每个案件的具体情况都会有所不同，无法一概而论。如果您面临类似情况，请务必及时咨询专业律师以获取准确的法律建议。