当检察院不支持抗诉时，当事人可以采取以下措施来维护自身权益：

1. 了解不支持抗诉的具体原因：

   • 首要步骤是仔细研读检察院作出的《不支持监督申请决定书》或相关通知，明确不支持抗诉的具体理由。这些理由可能涉及证据不足、法律适用正确、程序合法等方面。了解原因后，可以更有针对性地规划后续行动。

2. 依法申诉：

   • 申诉对象与途径：当事人可以向作出生效判决、裁定的法院或其上级法院提出申诉，也可以向人民检察院（包括上一级或同级）提出申诉。申诉是当事人对处理结果不满而向有关机关申述理由，请求重新处理的法律行为，是维护合法权益的重要途径。
   • 申诉材料准备：申诉时，需准备充分的证据和法律依据，以支持申诉请求。建议请律师协助整理申诉材料，提高申诉的成功率。
   • 申诉时限：应在法律规定的期限内提出申诉，具体期限根据案件情况而定，逾期未提出可能会丧失申诉权利。

3. 申请再审：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》或《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定认为有错误的，可以在判决、裁定发生法律效力后的一定期限内（如六个月内，特定情形下可能有所不同）向上一级人民法院申请再审。
   • 申请再审时，需提交再审申请书及相关证据材料，证明原判决、裁定存在错误。法院会对再审申请进行审查，如果符合再审条件，会裁定再审；如果不符合再审条件，会驳回再审申请。

4. 考虑内部复查申请（视地区而定）：

   • 部分地区允许当事人在认为检察院不支持抗诉决定存在明显错误时，向作出决定的检察院申请复查。但需注意，复查机制并非普遍存在，且申请获得支持的难度较大。如果所在地区有此机制，可以尝试申请。

5. 寻求其他解决方式：

   • 和解与调解：在认为通过法律途径难以达到预期效果时，当事人可以尝试与对方当事人进行和解或通过人民调解委员会等机构进行调解，以达成双方都能接受的解决方案。
   • 借助社会监督：在认为案件存在重大不公且有充分证据支持的情况下，当事人可以通过合法途径借助社会监督的力量，如向媒体反映情况。但需确保信息真实、客观，避免侵犯他人权益和违反法律法规。

注意事项：

• 在采取任何行动前，应充分了解相关法律规定和程序要求，避免盲目行动导致不利后果。
• 如遇困难或疑问，应及时向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和指导。
• 保持理性态度，面对检察院的不支持抗诉决定，应冷静分析原因，合理规划后续行动，避免情绪化的行为影响维权效果。

综上所述，当检察院不支持抗诉时，当事人不必感到绝望。通过多种法律手段和途径的灵活运用，仍有机会维护自己的合法权益。重要的是要保持冷静、理性思考，并根据自身实际情况选择合适的方式行动。