结论前置：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司在以下特定情形下辞退员工无需支付经济补偿：劳动者存在过错、双方协商一致解除劳动合同以及经济性裁员中的特定情况。以下是对这些情形的详细阐述：

一、劳动者存在过错的情形

1. 在试用期间被证明不符合录用条件的

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第一项。
   • 具体情形：用人单位需在招聘时明确录用条件，并在试用期内对劳动者进行客观考核。若劳动者未能满足要求，用人单位可解除劳动合同且无需补偿。例如，公司招聘程序员时约定“通过代码测试”为录用条件，若试用期内未达标且有书面记录，可合法解除。

2. 严重违反用人单位的规章制度的

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第二项。
   • 具体情形：规章制度需内容合法、程序民主，并向劳动者公示。当劳动者严重违反时，用人单位有权解除合同且无需补偿。如员工多次无视禁烟规定，在工作场所吸烟，严重影响消防安全及办公环境，公司可据此辞退。

3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第三项。
   • 具体情形：需证明行为直接导致经济损失（如采购员收受回扣导致公司损失超50万元），且损害结果与行为有直接因果关系。例如，财务人员疏忽导致经济损失，或销售人员泄露商业机密，给公司造成严重影响的，可辞退且不补偿。

4. 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，影响本单位工作任务的

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第四项。
   • 具体情形：若劳动者兼职影响本职工作，或用人单位禁止兼职而劳动者拒不改正，用人单位可解除劳动合同且无需补偿。例如，员工因兼职导致无法按时完成本职工作，经警告后仍不改正，公司可辞退且不补偿。

5. 因欺诈、胁迫手段或乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，致使劳动合同无效的

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第五项。
   • 具体情形：如员工伪造学历证书入职，公司发现后可解除合同。

6. 被依法追究刑事责任的

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第六项。
   • 具体情形：包括被判刑或被采取刑事强制措施（如拘留、逮捕）。

二、协商一致解除劳动合同

• 法律依据：《劳动合同法》第三十六条。
• 具体情形：若员工主动提出离职并与公司达成一致，公司无需支付补偿。例如，员工因个人原因申请辞职，公司同意后办理手续。

三、经济性裁员的特殊情形

• 法律依据：《劳动合同法》第四十一条。
• 具体情形：企业破产重整或经营困难时，需满足提前30日向工会或全体职工说明情况，听取意见后向劳动部门报告的条件。例如，公司因疫情亏损需裁员20人以上，按程序执行后无需对特定员工补偿。但需注意，裁减人员时应当优先留用与本单位订立较长期限的固定期限劳动合同的、与本单位订立无固定期限劳动合同的以及家庭无其他就业人员，有需要扶养的老人或者未成年人的员工。

注意事项

1. 程序合法性：解除合同必须履行法定程序（如通知工会、出具书面解除通知书），否则可能构成违法解除。
2. 举证责任：用人单位需承担举证责任，证明解除理由符合法律规定。例如，以“严重失职”为由解除时，需提供损失金额、因果关系等证据。
3. 例外情形：即使劳动者存在过错，若其处于医疗期、孕期等特殊保护期间，单位仍需谨慎处理，避免法律风险。

总结与建议：单位无需补偿的辞退主要限于劳动者过错、协商一致及法定经济性裁员情形。在实际操作中，建议用人单位完善规章制度并公示，保留关键证据（如考勤记录、违规事实），严格遵循法定程序，并在必要时咨询专业律师以降低风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。