针对您做美甲后得甲沟炎，而商家不退款的情况，您可以通过以下几种合法途径来维护自己的权益：

途径一：直接与商家协商解决

首先，您可以尝试与美甲店的负责人或客服人员直接沟通，明确表达您的诉求，即要求退款或进行相应的赔偿。在沟通过程中，建议您提供相关的证据，如甲沟炎的照片、就医的病历和票据等，以证明您的损害是由美甲服务直接导致的。同时，注意保留好沟通记录，如聊天记录、书面协议等，以备后续维权之需。

途径二：通过12345申请行政介入

如果与商家协商无果，您可以拨打12345政务服务便民热线，向有权管辖的卫生健康行政部门或市场监督管理部门反映情况。这些部门将会根据您所反映的问题进行核查，并督促商家妥善处理纠纷。在申请行政介入时，您需要提供详细的证据和情况说明，以便相关部门能够准确了解问题并采取相应的措施。

途径三：申请医疗纠纷调解委员会调解

如果您希望快速、便捷地解决纠纷，并借助专家力量，您可以考虑向医疗纠纷人民调解委员会提出调解申请。医调委将会根据纠纷的具体情况，选取调解员、医学和法学等专家组成调解组进行调解。在调解过程中，您需要积极配合调解组的工作，提供必要的证据和情况说明。如果调解成功，医调委将会制作调解协议书，明确双方的权利和义务。

途径四：申请医疗事故或损害鉴定明确责任

如果纠纷涉及医疗技术问题，如是否构成医疗事故、损害程度等，您可以向医疗机构所在地卫生健康行政部门或当地医学会申请医疗事故鉴定，或者向第三方司法鉴定机构申请医疗损害鉴定。通过专业鉴定，您可以明确责任划分，为后续的维权（如赔偿、诉讼）提供科学依据。

在维权过程中，我建议您保持冷静和理性，不要采取过激的行为或言辞。同时，注意保留好所有相关的证据和记录，以便在需要时能够提供有力的支持。希望这些建议能够帮助您解决问题，维护自己的合法权益。