结论：针对您车贷还完10多年没解押，银行找不到记录且您又丢失了相关资料的情况，您可以通过以下步骤来尝试解决问题：首先尝试与银行沟通补办手续，若无法解决则考虑通过法律途径确认贷款已还清并要求银行协助解押。

详细分析与建议：

1. 与银行沟通：

   • 尝试找回记录：尽管银行表示找不到记录，但您可以尝试提供贷款时的相关信息，如贷款合同编号、贷款发放日期、还款账户信息等，看银行是否能根据这些信息找回或确认您的贷款记录。
   • 补办手续：如果银行能够确认您的贷款已还清，但因时间久远无法直接提供解押手续，您可以询问银行是否可以补办相关手续或出具证明文件，以便您前往车辆管理所办理解押。

2. 收集证据：

   • 还款凭证：尽管您丢失了相关资料，但如果您还保留有部分还款凭证，如银行转账记录、还款收据等，这些都可以作为您已还清贷款的证据。
   • 证人证言：如果可能的话，您可以寻找当时贷款时的见证人或共同还款人，他们的证言也可以作为辅助证据。

3. 法律途径：

   • 起诉确认贷款还清：如果银行坚持无法找到记录且拒绝提供解押手续，您可以考虑向法院起诉，要求确认您已还清贷款，并判决银行协助您办理解押手续。在此过程中，您需要提供上述收集到的证据来支持您的主张。
   • 申请法院调查令：在诉讼过程中，如果银行仍拒绝提供相关记录，您可以向法院申请调查令，要求银行提供贷款记录等相关证据。

4. 前往车辆管理所咨询：

   • 在与银行沟通的同时，您也可以前往当地车辆管理所咨询解押的具体流程和所需材料。虽然解押通常需要银行提供的解押手续，但车辆管理所可能会根据您的具体情况给出一些建议或指导。

后续行动建议：

• 保持耐心和冷静：解决此类问题可能需要一定的时间和耐心，请保持冷静并积极配合银行和相关部门的工作。
• 及时咨询：在处理过程中，如果您遇到任何疑问或困难，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。

可能遇到的法律后果：

• 如果最终确认您已还清贷款，但银行仍拒绝协助解押，您有权通过法律途径维护自己的合法权益，包括起诉银行并要求赔偿因此造成的损失。
• 如果在处理过程中发现存在其他法律问题或纠纷，如贷款合同存在瑕疵、银行存在过错等，您也可能需要根据具体情况承担相应的法律责任或享受相应的法律权益。