在这种情况下，双方都喝醉了并打伤了对方，首先需要明确的是，无论双方是否醉酒，打人行为都是违法的，需要承担相应的法律责任。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
一、法律责任分析
民事责任：
- 双方都有可能因打人行为而承担民事赔偿责任。如果一方受伤，可以要求另一方赔偿医疗费、误工费、护理费、营养费、交通费等因受伤而产生的合理费用。
- 在协商赔偿过程中，建议保留好相关的沟通记录，如聊天记录、录音等。如果双方能够达成一致意见，最好签订书面的赔偿协议，明确赔偿金额、支付方式和时间等内容。
行政责任：
- 若打人行为造成轻微伤，根据《治安管理处罚法》的相关规定，打人者可能面临五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款的处罚。
- 警方在处理此类事件时，会综合考虑双方的过错程度、打人行为的后果等因素来决定具体的处罚措施。
刑事责任：
- 若一方的伤情达到轻伤及以上程度，打人者可能涉嫌故意伤害罪，公安机关会依法进行刑事立案侦查。
- 在刑事诉讼过程中，受伤方可以作为被害人提起附带民事诉讼，要求对方赔偿经济损失。
二、处理流程建议
确保自身安全：
- 在冲突发生时，首要任务是保护自己的安全。避免与醉酒者发生进一步冲突，迅速离开现场，前往安全地点。
立即报警：
- 拨打110报警电话，清晰准确地告知警方事发地点、双方都处于饮酒状态、打人经过以及自己的受伤状况等信息。保留好与警方的通话记录，作为后续处理的证据。
寻求医疗救助并保留证据：
- 在条件允许的情况下，马上呼叫急救车或自行前往附近医院就诊。全面检查身体，确保没有遗漏任何伤势。
- 保留好所有的病历、诊断证明、检查报告、医疗费票据等相关医疗资料。这些将作为后续追究对方责任和要求赔偿的重要依据。
配合警方调查：
- 警方到达现场后，如实、详细地向警方陈述事情经过，包括冲突发生的原因、过程、对方的外貌特征等情况。
- 提供有助于还原事实的线索，如监控录像、在场证人等。
- 按照警方要求进行伤情鉴定，这是确定对方责任和后续处理的关键步骤。
三、特殊情况考虑
- 双方都醉酒的情况：虽然双方都处于醉酒状态，但这并不免除各自因打人行为而应承担的法律责任。醉酒不是免责的理由，双方仍需根据各自的过错程度承担相应的责任。
- 互殴与自卫的区分：如果一方是在被对方攻击的情况下进行反击，且反击行为在合理限度内，可能构成正当防卫。但正当防卫的认定需要严格符合法律规定的条件，建议在此类情况下及时咨询专业律师以获取准确判断。
最后，我建议双方在处理此类事件时保持冷静和理智，避免情绪化行为导致事态升级。同时，要积极配合警方和医疗机构的调查和处理工作，以便更好地维护自己的合法权益。如果双方在处理过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。