当您与同事发生口角，且对方先动手打人后双方互相打起来时，您可以按照以下步骤来处理这一事件，以维护自己的合法权益并妥善解决问题：

一、确保人身安全

1. 迅速撤离或躲避：在冲突发生时，首要任务是保护自己不受进一步伤害。如果可能，立即离开现场，前往人多的地方或安全区域。若无法撤离，应寻找可以躲避的障碍物，如桌子、椅子或墙壁等，利用其作为屏障。

2. 控制情绪和行为：保持冷静，不要因对方的挑衅而冲动还手。冲动还手可能会使冲突升级，导致更严重的后果，并且在法律上可能被视为互殴行为，影响您的权益维护。

二、及时报警与求助

1. 拨打报警电话：在确保自身安全的情况下，尽快拨打110报警电话，清晰准确地告知警方事发地点、现场状况及双方人员情况。

2. 寻求医疗救助：如果有人员受伤，包括您自己或对方，应同时拨打120急救电话，并在确保安全的前提下对伤者进行初步救助。

三、全面收集证据

1. 现场记录：在不影响安全和不妨碍警方执法的前提下，使用手机拍照或录像留存现场证据，包括冲突过程、现场环境、双方伤势以及监控摄像头位置等。

2. 保留伤情证明：若您受伤，应及时前往医院就诊，并妥善保存病历、诊断证明、检查报告及医疗费票据等医疗资料。这些将是后续寻求法律救济的重要证据。

3. 寻找目击证人：寻找现场的目击者，并记录他们的联系方式。目击者的证言对于还原事件真相、确定责任具有重要意义。

四、积极配合警方调查

1. 如实陈述事件经过：警方到达现场后，应如实、详细地向警方描述事件经过，包括口角的原因、对方先动手的具体情况、自己的反应以及冲突的发展过程等。

2. 提供线索和证据：向警方提供您所知悉的对方身份信息、联系方式以及现场监控等线索，协助警方进行调查。同时，将您收集到的现场记录、伤情证明和目击证人信息等提交给警方。

五、寻求法律救济

1. 申请伤情鉴定：根据受伤情况，及时向警方申请进行伤情鉴定。伤情鉴定结果对于确定案件的性质和责任具有重要意义。如果伤情达到轻伤及以上程度，对方的行为可能构成故意伤害罪，将面临刑事处罚。

2. 寻求民事赔偿：若因对方的殴打行为遭受了身体伤害、财产损失等，您可通过民事诉讼途径要求对方承担赔偿责任。赔偿范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费以及精神损害抚慰金等。在提起诉讼前，建议咨询专业律师以获取更准确的法律指导和建议。

3. 遵循法律程序：若决定提起诉讼，应按照律师的指导准备相关证据和材料，并出庭如实陈述事实，配合法庭的调查和审理工作。

六、后续注意事项

1. 关注案件进展：主动与办案民警保持联系，了解案件的办理进度和相关情况。如有需要补充材料或配合调查的情况，应积极配合。

2. 加强自我保护意识：从此次事件中吸取教训，提高自我保护意识和能力。在日常生活中，尽量避免与他人发生冲突，遇到矛盾和问题时，保持冷静理智，通过合法、合理的方式解决。

3. 考虑工作关系：虽然此次事件可能对您与同事的关系造成了影响，但在处理完法律程序后，您可以考虑与对方进行沟通，尝试修复工作关系。如果无法修复，也应保持专业态度，避免影响工作效率和团队氛围。