结论前置：私家车在紧急运送急诊病人的过程中，若因救助需要而超速或闯红灯，事后可依法向交警部门申诉并提供相关证据。若证据充分且情况属实，一般可撤销相应违章处罚。

详细分析：

1. 紧急情况下的特殊处理：

   • 准备材料：为了证明送医的紧迫性，您需要准备医院的急诊病历、诊断证明，这些文件应详细记录患者的就诊时间、病情等信息。同时，车内的行车记录仪视频也是关键证据，它能清晰记录送医过程、患者的紧急状态及闯红灯、超速的具体经过。此外，病人及其家属的证言也能进一步说明当时情况的紧急性。
   • 申诉流程：在收到违章处罚通知后，您应在规定期限内（具体期限依当地规定而定）携带上述材料前往当地交警大队或相关处理窗口。向交警部门清晰、诚实地陈述送医的紧急情况、行驶路线、时间等细节，并提出申诉。
   • 交警部门审核：交警部门会对提交的材料进行审核，可能包括查看事发路段的监控视频、核实医院就诊记录等。若认定私家车超速、闯红灯是为了紧急救助病人且情况属实，一般会依法撤销相应的违章处罚。

2. 法律依据：

   • 根据《道路交通安全违法行为处理程序规定》第二十二条，交通技术监控设备记录或者录入道路交通违法信息管理系统的违法行为信息，若有证据证明机动车因救助危难或者紧急避险造成的违法行为，并经核实的，违法行为发生地或者机动车登记地公安机关交通管理部门应当自核实之日起三日内予以消除。

3. 注意事项与建议：

   • 行车安全：尽管在紧急情况下可能需要违反交通规则，但您仍需尽可能确保行车安全，避免对其他交通参与者造成危险。如因闯红灯或超速行为导致交通事故发生，您仍需承担相应的法律责任。
   • 及时联系：在闯红灯或超速后，务必尽快与交通管理部门联系，并提供相关证明以解释情况。警方可能会考虑情况的紧急性，对违章行为进行酌情处理。
   • 法律救济途径：若对交警部门的处理结果有异议，您可在规定时间内向上一级公安机关交通管理部门申请行政复议，或向当地人民法院提起行政诉讼。在申请行政复议或提起行政诉讼时，请务必附上相关证据材料，以支持您的主张。

特殊情况处理：

• 若您当时没有意识到要收集证据，或者在规定时间内没有申请行政复议或提起行政诉讼，就只能先按照处罚通知接受罚款、扣分等处罚。之后若能补充收集到相关证据，仍然可以尝试通过申诉等途径来挽回，但难度和时间成本会增加。

总结： 私家车在紧急运送急诊病人的过程中，若因救助需要而超速或闯红灯，应事后及时向交警部门申诉并提供相关证据。同时，您也应尽可能确保行车安全，并了解相关的法律依据和特殊情况处理规定。在必要时，可依法采取进一步的法律救济途径来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。