在交通事故中，您确实有权向对方的保险公司提出索赔请求，这一行为是合法且受相关法律法规保护的。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据与合法性
《中华人民共和国保险法》：
- 根据该法，被保险人在发生保险合同约定的保险事故后，有权按照合同约定向保险公司请求赔偿保险金。这一权利并不因您与事故对方达成赔偿协议而丧失。
- 保险公司收到赔偿请求后，应及时作出核定，并履行赔偿义务。若拒绝履行，需承担违约责任。
《中华人民共和国民法典》：
- 保险合同是投保人与保险人之间的协议，当被保险人发生符合合同约定的交通事故时，保险公司应履行赔付义务。
- 《民法典》还明确了机动车交通事故的赔偿顺序，首先由承保机动车强制保险的保险人赔偿，不足部分由商业保险按约定赔偿，仍不足则由侵权人赔偿。这为您在赔偿后向保险公司追偿提供了法律依据。
《中华人民共和国道路交通安全法》：
- 该法规定，机动车发生交通事故造成损害，由保险公司在机动车第三者责任强制保险责任限额范围内予以赔偿。
二、具体情况分析与注意事项
赔偿协议与保险索赔的关系：
- 您与事故对方达成的赔偿协议是基于侵权责任产生的民事约定，而向保险公司索赔是基于保险合同关系。两者属于不同的法律关系，互不影响。因此，即使您已与对方达成赔偿协议，仍可向保险公司提出索赔。
索赔范围和条件：
- 在向保险公司索赔时，您需确保事故属于保险责任范围，并符合理赔条件。例如，事故需发生在保险期间内，且您需持有有效的保险单等。
- 同时，您需提供充分的证据材料来支持您的索赔请求，如交通事故责任认定书、医疗费用发票、维修清单等。
赔偿协议的明确性与合法性：
- 您与事故对方达成的赔偿协议应明确、具体，并符合法律法规规定。如果协议内容存在模糊或违法之处，可能会影响您向保险公司的索赔。
- 如果保险公司对赔偿协议有异议，您可能需要通过法律途径来解决争议。
三、操作建议
及时报案：
- 在发生交通事故后，您应及时向保险公司报案，并告知事故的基本情况。
收集证据：
- 收集并保存好与事故相关的所有证据材料，如现场照片、交通事故责任认定书、医疗费用发票等。
提交索赔申请：
- 按照保险公司的要求填写索赔申请表，并提交相关证据材料。
跟进理赔进度：
- 在提交索赔申请后，您应及时跟进理赔进度，并与保险公司保持沟通。
综上所述，发生交通事故后，即使您已与对方达成赔偿协议，仍可向对方的保险公司提出索赔请求。但具体能否成功理赔以及理赔金额需根据保险合同、相关法律法规及具体情况确定。因此，在索赔过程中，您应遵守相关法律法规，提供充分的证据材料，并确保赔偿协议的明确性与合法性。