当市政绿化养护责任人未履行其管理职责时，这确实是一个需要关注并妥善处理的问题。以下是一些详细的步骤和建议，希望能帮助您有效应对这一情况：

一、了解相关法规与责任

首先，您需要了解当地关于市政绿化养护的相关法规，比如《郑州市城市园林绿化条例》或其他类似的地方性法规。这些法规通常会明确绿化养护责任人的职责、未履行职责的后果以及相应的处罚措施。通过了解这些法规，您可以更清晰地认识到问题的严重性和可能的解决方案。

二、收集证据

在采取任何行动之前，收集充分的证据是至关重要的。这可以包括：

1. 现场照片或视频：记录绿化区域的现状，如枯萎的植物、损坏的设施等。
2. 养护记录：如果可能的话，获取绿化养护责任人的养护记录，以证明其未履行职责。
3. 目击者证言：如果有目击者看到养护责任人未履行职责的情况，可以请他们提供证言。

三、与养护责任人沟通

在掌握了足够的证据后，您可以尝试与绿化养护责任人进行沟通。表达您的关切，并指出他们未履行职责的具体情况。有时候，问题可能只是由于沟通不畅或误解造成的，通过沟通可以达成共识并解决问题。

四、向相关部门投诉

如果沟通无果，或者您认为问题比较严重，可以向当地的城市园林绿化行政主管部门或其他相关部门进行投诉。在投诉时，提供您收集的证据，并详细描述问题的情况。相关部门会根据法规进行调查，并采取相应的措施，如责令改正、罚款等。

五、寻求法律援助

如果问题依然没有得到解决，或者您认为自己的权益受到了严重侵害，可以考虑寻求法律援助。咨询专业的律师，了解您的法律权益和可能的诉讼途径。

六、关注后续处理

在投诉或寻求法律援助后，关注相关部门的后续处理情况。确保问题得到妥善解决，并防止类似情况再次发生。

七、参考具体案例（如深圳市坪山区）

以深圳市坪山区为例，如果绿化养护责任人不履行修剪义务导致树木生长影响市政管线、交通安全以及居民采光、通风或者居住安全，您可以拨打投诉电话0755-12345进行投诉。投诉后，相关部门会在规定时间内给予回复，并采取相应的措施。

总结

面对市政绿化养护责任人未履行管理职责的情况，您可以通过了解法规、收集证据、与养护责任人沟通、向相关部门投诉、寻求法律援助以及关注后续处理等步骤来维护自己的权益和公共利益。希望这些建议能对您有所帮助。