核心结论：家属将患者送医后离开，医院需根据患者具体情况采取不同措施，同时家属可能需承担相应法律责任。以下从医院应对措施和家属法律责任两个角度展开说明：

一、医院应对措施

1. 紧急救治义务
   根据《民法典》第1220条，医疗机构在患者生命垂危等紧急情况下，即使无法联系家属或家属拒绝签字，仍需立即实施救治，不得因费用问题拒绝或拖延。
   操作建议：医院应优先启动绿色通道，完成基础抢救（如心肺复苏、止血等），同时联系警方协助查找家属。

2. 患者状态分类处理

   • 意识清醒患者：若患者具备完全民事行为能力，医院可要求其签署《自愿留院观察同意书》，明确后续治疗责任自担。
     
   • 意识不清患者：需立即报案并联系民政部门，根据《精神卫生法》第30条，可能涉及强制医疗程序；若患者携带身份证件，可通过公安系统查询家属联系方式。

3. 费用追偿机制
   救治产生的费用，医院可依据《民法典》第1218条向家属主张赔偿。若家属拒不支付，医院可向法院申请先予执行，或通过医保基金垫付后追偿（需符合地方政策）。

二、家属法律责任

1. 遗弃罪风险
   若患者属于无独立生活能力者（如未成年人、精神病人），家属擅自离开可能构成《刑法》第261条遗弃罪，处5年以下有期徒刑。
   判定要点：需证明家属明知患者需要照顾仍故意离弃，且造成严重后果（如病情恶化）。

2. 民事赔偿责任
   即使不构成刑事犯罪，家属仍需承担《民法典》第1165条规定的侵权责任，赔偿患者因延误治疗产生的医疗费、护理费等损失。
   例外情形：若家属能证明已尽到合理照顾义务（如留下联系方式、委托他人代管），可减轻责任。

3. 行政处罚可能
   根据《治安管理处罚法》第45条，对年老、年幼、患病等需要监护的人拒不履行监护职责，可处5日以下拘留或警告。

三、实务建议

1. 对医院：

   • 建立”无主患者”应急预案，明确各部门职责（如医务科负责救治、保卫科联系警方）。
     
   • 完善病历记录，详细记载患者状态、家属离弃时间、沟通记录等关键证据。

2. 对家属：

   • 若因特殊原因需暂时离开，应留下书面委托书并注明联系方式，避免被认定为遗弃。
     
   • 主动与医院沟通治疗方案，可通过视频等方式远程参与决策。

3. 对第三方：
   社会救助机构可介入提供临时监护，费用最终由责任方承担；保险公司可探索开发相关责任险产品。

如需进一步分析具体案情（如患者伤情等级、家属离弃时长等），可直接向我提供细节，我将结合地方司法实践给出针对性建议。