当公司未提前一个月通知即辞退员工时，赔偿问题的处理确实需要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，并结合具体情况来细致分析。以下是对这一问题的详细解答：
一、判断解除劳动合同的合法性
首先，要明确公司辞退员工的行为是否合法。如果公司辞退员工符合《劳动合同法》第三十九条规定的情形，比如员工严重违反规章制度、严重失职给公司造成重大损害等，并且公司有确凿的证据支持，那么这种辞退是合法的，公司无需提前通知，也无需支付代通知金或经济补偿金。
然而，如果公司辞退员工不属于上述法定情形，或者虽然属于可解除情形但未提前一个月书面通知员工，那么这种辞退就构成违法解除。在这种情况下，员工有权选择要求继续履行劳动合同，或者要求公司支付赔偿金。
二、赔偿标准详解
代通知金：
- 如果公司辞退员工符合《劳动合同法》第四十条规定的情形，比如员工患病不能胜任工作、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化等，但公司未提前三十日以书面形式通知员工，那么公司应额外支付一个月工资作为代通知金。
- 代通知金的计算标准通常是按照员工上一个月的工资标准来确定。
经济补偿金：
- 如果员工因公司合法原因（非过错性解除）被辞退，且公司未提前通知，除了代通知金外，公司还需按员工在本单位的工作年限支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算方式是：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
- 如果员工的月工资高于公司所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿金的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
赔偿金：
- 在违法解除的情况下，公司应按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。也就是说，员工在公司工作的每一年，都能获得两个月工资的赔偿。
三、特殊情况处理
- 对于在公司工作10年以上的员工，如果属于合法辞退，公司通常无需支付经济补偿（但需注意，某些特定情况下，如双方协商一致解除劳动合同，公司仍需支付经济补偿）。
- 如果属于违法辞退，公司则需支付二倍的经济补偿作为赔偿金。
四、操作建议与注意事项
- 判断解除合法性：员工在面临辞退时，应首先判断公司的解除行为是否合法，并收集、保留相关证据以维护自己的权益。
- 协商与投诉：如果认为公司构成违法解除，员工可以先与公司进行协商，要求按照法律规定支付相应赔偿或补偿。协商不成时，可以向劳动监察部门投诉，或依法向劳动仲裁机构申请仲裁。
- 法律行动：如果对仲裁结果不服，员工有权向法院提起诉讼，要求公司承担法律责任。
- 专业咨询：在整个过程中，建议员工咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助，确保自身权益得到充分保障。
综上所述，公司未提前一个月通知辞退员工的赔偿问题，需根据解除行为的合法性、员工的工作年限及具体情况来确定。员工应充分了解相关法律法规，积极维护自己的合法权益。